생일 문제란? 23명이면 50%를 넘는 확률 계산과 원리

🧮 생활 속 수학

생일 문제는 23명만 모여도 같은 생일인 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘는다는 확률 퍼즐이다. 여사건으로 푸는 생일 문제 확률 계산법, 쌍의 개수로 이해하는 원리, 비밀번호 해시 충돌까지 이어지는 생활 속 쓰임을 정리했다.

생일 문제는 "몇 명이 모이면 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 절반을 넘을까"를 묻는 확률 퍼즐이다. 답은 23명이다. 23명이면 50.7퍼센트, 30명이면 70.6퍼센트, 50명이면 97퍼센트, 70명이면 99.9퍼센트가 넘는다. 1년이 365일이니 180명은 있어야 할 것 같다는 직관과 정반대라서 생일 역설이라고도 부른다. 이 글은 생일 문제 확률을 여사건으로 계산하는 과정을 끝까지 보여주고, 숫자가 왜 이렇게 빨리 커지는지, 그리고 이 원리가 회식 자리의 우연부터 비밀번호 보안까지 어디에 쓰이는지 정리한다.

생일 문제란 무엇이고 왜 역설이라 부를까?

생일 문제의 규칙은 단순하다. 방 안에 n명이 있고, 각자의 생일은 1년 365일 중 하루로 고르게 퍼져 있으며, 서로 독립이라고 가정한다. 이때 어느 두 사람이든 생일이 같을 확률을 구한다. 2월 29일과 쌍둥이는 계산을 단순하게 하려고 빼 둔다. 중요한 것은 "누구든 두 사람"이라는 조건이다. 특정한 한 사람과 같은 생일인 사람을 찾는 문제가 아니다.

역설이라 불리는 이유는 논리적 모순이 있어서가 아니라 직관이 틀리기 때문이다. 사람들은 대개 자기 자신을 기준으로 생각한다. "내 생일과 같은 사람이 있으려면 꽤 많이 모여야겠지"라는 감각은 맞다. 하지만 생일 문제는 나를 포함한 모든 사람이 서로를 비교하는 문제라서 비교 횟수가 인원수보다 훨씬 빨리 늘어난다. 이 차이를 숫자로 확인하는 것이 생일 문제 풀이의 핵심이다.

생일 문제 확률 계산법 — 여사건으로 푼다

"적어도 한 쌍이 같다"를 직접 세려면 한 쌍만 같은 경우, 두 쌍이 같은 경우, 세 명이 같은 경우처럼 갈래가 너무 많다. 그래서 반대 사건, 즉 "모두 생일이 다르다"의 확률을 먼저 구하고 1에서 뺀다. 첫 번째 사람은 아무 날이나 되니 확률 365/365, 두 번째 사람은 첫 사람과 달라야 하니 364/365, 세 번째는 앞의 둘과 달라야 하니 363/365다. 이렇게 n번째 사람까지 곱한다.

$$P(\text{모두 다름}) = \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365} = \prod_{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365}$$

여기서 $n$은 인원수, $k$는 0부터 $n-1$까지 도는 번호다. $k$번째 항의 분자 $365-k$는 앞선 $k$명이 이미 차지한 날을 뺀 남은 날의 수다. 인원이 늘수록 분자는 하나씩 줄어들고 곱은 점점 작아진다. 구하려는 생일 문제 확률은 이 곱을 1에서 뺀 값이다.

$$P(\text{한 쌍 이상 같음}) = 1 - \prod_{k=0}^{22}\frac{365-k}{365} \approx 1 - 0.4927 = 0.5073$$

$n=23$일 때 곱은 0.4927이고, 1에서 빼면 0.5073이다. 23명이 모이면 생일이 같은 쌍이 있을 확률이 50.7퍼센트라는 뜻이다. 22명이면 47.6퍼센트로 절반에 못 미치므로, 절반을 넘기는 최소 인원이 정확히 23명이다. 같은 방식으로 계산하면 10명 11.7퍼센트, 20명 41.1퍼센트, 30명 70.6퍼센트, 40명 89.1퍼센트, 50명 97.0퍼센트, 57명 99.0퍼센트, 70명 99.9퍼센트가 나온다. 결론은 한 줄이다. 축구 경기 한 판에 들어가는 선수 22명과 주심 1명, 23명 안에 같은 생일이 있을 가능성이 동전 던지기와 같다.

인원수별 생일 문제 확률 (같은 생일 쌍이 하나 이상 있을 확률)

• 10명 11.7퍼센트 · 15명 25.3퍼센트 · 20명 41.1퍼센트
• 23명 50.7퍼센트 (처음으로 절반을 넘는 인원)
• 30명 70.6퍼센트 · 40명 89.1퍼센트 · 50명 97.0퍼센트
• 57명 99.0퍼센트 · 70명 99.9퍼센트 · 366명 100퍼센트 (비둘기집 원리)

왜 이렇게 빨리 커질까? 사람 수가 아니라 쌍의 수

직관이 어긋나는 진짜 이유는 비교의 단위가 사람이 아니라 쌍이기 때문이다. 23명이면 두 사람을 고르는 방법이 23 곱하기 22 나누기 2, 즉 253가지다. 어느 한 쌍의 생일이 같을 확률은 1/365로 작지만, 그 작은 기회가 253번 주어진다. 30명이면 435쌍, 50명이면 1,225쌍이다. 인원이 2배가 되면 쌍은 대략 4배가 되니 확률도 그만큼 가파르게 오른다.

이 감각을 공식으로 옮기면 생일 문제의 근사식이 나온다. 각 쌍이 서로 거의 독립이라고 보고, 작은 확률 $p$가 $m$번 반복될 때 한 번도 일어나지 않을 확률이 $e^{-mp}$에 가깝다는 성질을 쓴다.

$$P \approx 1 - e^{-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365}}, \qquad n=23 \;\Rightarrow\; 1 - e^{-253/365} \approx 1 - e^{-0.693} \approx 0.50$$

지수 위의 $n(n-1)/2$가 쌍의 개수이고 365가 가능한 날의 수다. 23명일 때 지수는 253/365, 약 0.693인데 이 값은 공교롭게도 $\ln 2$와 거의 같다. 그래서 $e^{-0.693}$이 딱 0.5가 되고, 절반을 넘는 경계가 23명에 걸린다. 이 근사식은 정확한 곱셈 공식보다 계산이 훨씬 간단하면서도 소수 둘째 자리까지 거의 일치한다. 가능한 경우의 수를 365 대신 다른 수 $N$으로 바꾸면 생일 문제는 생일이 아닌 어떤 우연에도 그대로 적용된다.

나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 전혀 다르다

생일 문제에서 가장 흔한 오해는 "23명 중 누군가 내 생일과 같을 확률이 50퍼센트"라고 받아들이는 것이다. 이 문제는 비교 대상이 나 한 사람으로 고정되므로 쌍의 수가 $n$개뿐이다. 다른 한 사람이 나와 생일이 다를 확률은 364/365이고, 이것이 나머지 인원수만큼 반복된다.

$$P(\text{나와 같은 생일인 사람이 있음}) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{n}, \qquad n=23 \;\Rightarrow\; 0.061$$

$n$은 나를 제외한 다른 사람의 수다. 23명일 때 겨우 6.1퍼센트이고, 절반을 넘기려면 253명이 필요하다. 같은 방에서 "아무나 둘이 같은 생일"은 50퍼센트인데 "나와 같은 생일"은 6퍼센트라는 차이가 생일 역설의 정체다. 질문이 "누구든"인지 "나와"인지에 따라 답이 열 배 가까이 달라진다. 뉴스나 광고에서 우연의 일치를 강조할 때 이 두 질문이 슬쩍 바뀌어 있는 경우가 많으니 확인해 볼 만하다.

현실의 생일은 365일에 고르게 퍼져 있지 않다. 계절과 출산 관행에 따라 특정 달에 몰리는 경향이 있는데, 분포가 고르지 않을수록 같은 생일이 생길 확률은 오히려 더 높아진다. 즉 23명이라는 답은 가장 보수적인 경우의 계산이고, 실제 모임에서는 조금 더 적은 인원으로도 절반을 넘긴다.

생활 속 생일 문제 — 우연의 일치와 비밀번호 보안

생일 문제는 "이런 우연이!"를 읽는 잣대가 된다. 모임에서 같은 생일이 나오거나, 복권 당첨 번호가 예전 회차와 겹치거나, 낯선 곳에서 아는 사람을 만나는 일이 놀랍게 느껴지는 것은 "나에게" 일어날 확률을 떠올리기 때문이다. 그러나 "누군가에게, 어느 날엔가" 일어날 확률은 쌍의 수만큼 불어난다. 로또처럼 가능한 조합이 약 814만 가지인 추첨도 1,000회쯤 쌓이면 어떤 두 회차의 당첨 번호가 완전히 같을 확률이 근사식으로 약 6퍼센트에 이른다. 놀랄 일이 아니라 계산되는 일이다.

컴퓨터 보안에서는 이 원리를 생일 공격이라고 부른다. 파일이나 비밀번호를 짧은 지문(해시)으로 바꿀 때, 가능한 지문의 종류가 $N$가지라면 대략 $\sqrt{N}$개의 서로 다른 입력만 모아도 지문이 겹치는 쌍이 생길 확률이 절반을 넘는다. 지문이 32비트, 약 43억 가지라면 겨우 7만 7천 개 남짓으로 충돌이 생긴다. 그래서 실제 시스템은 256비트처럼 압도적으로 큰 $N$을 쓴다. 안전한 비밀번호 길이나 해시 길이가 생일 문제의 제곱근 규칙에서 나온다는 사실은 알아 두면 쓸모가 있다.

나는 회사 부서 워크숍에서 참가자 34명의 생일을 실제로 모아 본 적이 있다. 계산상 확률이 79퍼센트였는데, 정말로 같은 생일이 두 쌍 나왔다. 그 자리에서 "그래도 내 생일과 같은 사람은 없네요"라고 말한 동료가 있었고, 그게 바로 6퍼센트짜리 다른 질문이라는 설명을 하면서 생일 문제를 다시 이해했다. 우연은 감정의 문제가 아니라 쌍의 개수 문제였다.

정리하면 생일 문제의 답은 23명이고, 그 이유는 사람이 아니라 쌍을 세기 때문이다. "누구든 둘"과 "나와 누군가"는 다른 질문이며, 이 구분 하나로 일상의 우연이 얼마나 흔한 일인지 가늠할 수 있다.

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참고 자료

Wikipedia — Birthday problem Wolfram MathWorld — Birthday Problem Wikipedia — Birthday attack