연평균 수익률 계산법 — 산술평균과 기하평균의 차이

🧮 생활 속 수학

연평균 수익률은 여러 해의 수익을 매년 같은 비율로 불어난 것처럼 환산한 값으로, 산술평균이 아니라 기하평균(CAGR)으로 계산해야 맞다. 연평균 수익률 계산법과 공식, 산술평균이 과대평가되는 이유, 엑셀 수식과 72의 법칙 활용까지 숫자로 정리했다.

연평균 수익률은 처음 금액이 마지막 금액이 되기까지 매년 몇 퍼센트씩 복리로 불어난 셈인지를 나타내는 하나의 숫자다. 해마다 다른 수익률을 단순히 더해서 햇수로 나누면 실제보다 큰 값이 나온다. 올바른 연평균 수익률 계산법은 기하평균, 흔히 CAGR이라 부르는 복리 환산이며, 계산기 없이도 세 단계면 구할 수 있다.

연평균 수익률이란? 산술평균으로 계산하면 틀리는 이유

100만원을 넣은 계좌가 첫해에 50% 올라 150만원이 되고, 이듬해에 50% 떨어졌다고 하자. 두 해 수익률을 더해 둘로 나누면 0%다. 그런데 150만원의 절반은 75만원이므로 계좌에는 75만원만 남는다. 2년 동안 25%를 잃었는데 산술평균은 본전이라고 말한다. 연평균 수익률을 산술평균으로 계산하면 이렇게 실제와 어긋난다.

이유는 수익률이 더해지는 양이 아니라 곱해지는 양이기 때문이다. 첫해 수익률은 원금에 곱해지고, 둘째 해 수익률은 첫해가 끝난 금액에 곱해진다. 그래서 여러 해의 수익률을 하나로 요약하려면 덧셈의 평균인 산술평균이 아니라 곱셈의 평균인 기하평균을 써야 한다. 위 예에서 2년 뒤 75만원이 되게 하는 연평균 수익률은 약 마이너스 13.4%다. 매년 13.4%씩 줄면 100만원이 86.6만원, 다시 75만원이 된다.

금융 상품 설명서나 자산 운용 보고서에서 말하는 연평균 수익률, 영어로 CAGR(연평균 성장률)은 모두 이 기하평균 개념이다. 반대로 인터넷 게시글에서 "3년 수익률 30%니까 연 10%"라고 쓰는 것은 산술 나눗셈이라 조금 과장된 값이다. 30%가 3년에 걸쳐 복리로 쌓였다면 연평균 수익률은 9.1%다.

연평균 수익률 공식과 계산법 3단계

연평균 수익률 공식은 최종 금액을 최초 금액으로 나눈 뒤, 그 값의 햇수 제곱근을 구하고, 1을 빼는 것이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\text{연평균 수익률} = \left(\frac{\text{최종 금액}}{\text{최초 금액}}\right)^{1/n} - 1$$

여기서 $n$은 햇수다. 첫째, 최종 금액을 최초 금액으로 나눠 배율을 구한다. 둘째, 그 배율에 $1/n$ 제곱, 즉 $n$제곱근을 씌운다. 셋째, 1을 빼서 백분율로 바꾼다. 1,000만원이 10년 뒤 2,000만원이 됐다면 배율은 2, 2의 10제곱근은 약 1.0718이므로 연평균 수익률은 7.18%다. 실제로 1.0718을 열 번 곱하면 2.0이 나온다.

해마다 수익률을 따로 알고 있다면 배율 대신 각 해의 성장 배수를 모두 곱한다. 첫해 $r_1$, 둘째 해 $r_2$처럼 수익률이 주어졌을 때 연평균 수익률은 $(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)$의 $n$제곱근에서 1을 뺀 값이다. 앞의 예에서 $(1+0.5)(1-0.5)=0.75$이고, 0.75의 제곱근은 약 0.866이므로 연평균 수익률은 마이너스 13.4%로 같은 답이 나온다. 어떤 해에 수익률이 마이너스 100%, 즉 전액 손실이면 곱이 0이 되어 다른 해가 아무리 좋아도 연평균 수익률은 마이너스 100%다. 복리의 세계에서 큰 손실 한 번이 치명적인 이유를 이 곱셈 구조가 보여준다.

10년에 2배

배율 2의 10제곱근은 1.0718. 연평균 수익률 7.18%. 72의 법칙으로 어림하면 72 나누기 10, 약 7.2%.

20년에 3배

배율 3의 20제곱근은 1.0565. 연평균 수익률 5.65%. 산술 나눗셈(200% 나누기 20 = 10%)과 크게 다르다.

+50% 뒤 −50%

산술평균 0%, 실제 2년 누적 −25%. 연평균 수익률은 −13.4%. 손실은 회복에 더 큰 수익률이 필요하다.

엑셀 한 줄

=RRI(햇수, 최초금액, 최종금액) 또는 =(최종/최초)^(1/햇수)-1. 두 수식은 같은 값을 돌려준다.

산술평균과 기하평균이 벌어지는 이유 — 변동성이 갉아먹는 수익

수익률이 매년 똑같다면 산술평균과 기하평균은 일치한다. 두 값이 벌어지는 것은 오직 수익률이 해마다 출렁일 때다. 어떤 계좌가 30% 상승과 10% 하락을 번갈아 반복한다고 하자. 산술평균은 10%지만 2년 배율은 1.3 곱하기 0.9, 즉 1.17이고 그 제곱근은 약 1.0817이므로 연평균 수익률은 8.17%다. 같은 산술평균 10%라도 매년 정확히 10%씩 오르는 계좌가 결국 더 많은 돈을 남긴다.

이 차이는 근사식으로 깔끔하게 설명된다. 수익률의 표준편차를 $\sigma$라 하면 기하평균 수익률 $r_g$와 산술평균 수익률 $r_a$ 사이에는 대략 다음 관계가 있다.

$$r_g \approx r_a - \frac{\sigma^2}{2}$$

위 예에서 수익률은 평균 10%에서 위아래로 20%씩 벗어나므로 분산 $\sigma^2$은 0.04, 그 절반은 0.02다. 산술평균 10%에서 2%포인트를 빼면 8%로, 정확한 값 8.17%와 거의 같다. 이 2%포인트를 변동성 손실이라 부른다. 변동성이 두 배가 되면 손실은 네 배가 된다는 점이 핵심이다. 연평균 수익률이 같아 보이는 두 선택지가 있다면, 변동성이 작은 쪽의 산술평균이 더 낮았다는 뜻일 수 있다.

계산기 없이 연평균 수익률 구하는 법 — 로그와 72의 법칙

n제곱근은 암산이 어렵지만 로그를 쓰면 나눗셈으로 바뀐다. 배율의 로그를 햇수로 나눈 뒤 다시 지수를 취하면 연평균 수익률이 된다. 자연로그로 쓰면 다음과 같다.

$$\text{연평균 수익률} = \exp\!\left(\frac{\ln(\text{배율})}{n}\right) - 1$$

배율이 3이고 햇수가 20이면 $\ln 3 \approx 1.0986$, 이를 20으로 나누면 0.0549, 지수를 취하면 1.0565가 되어 연평균 수익률 5.65%가 나온다. 스마트폰 계산기 앱을 가로로 돌리면 ln과 e의 x제곱 버튼이 있으니 이 두 단계로 충분하다. 엑셀에서는 =RRI(20, 1, 3) 한 줄이면 같은 답을 돌려준다.

더 거친 어림에는 72의 법칙이 편하다. 돈이 두 배가 되는 데 걸린 햇수로 72를 나누면 연평균 수익률이 나온다. 10년에 두 배면 7.2%로, 정확한 값 7.18%와 거의 같다. 세 배, 네 배가 됐다면 두 배가 되는 데 걸린 시간을 역산해야 하므로 로그 계산법이 더 정확하다. 개인적으로는 몇 해 전 앱에서 누적 수익률 35%라는 숫자를 보고 꽤 흐뭇했는데, 7년짜리였다는 걸 떠올리고 계산해 보니 연평균 수익률은 4.4%였다. 같은 기간 예금 금리와 큰 차이가 없다는 사실을 숫자 하나로 깨달은 셈이다.

연평균 수익률을 읽을 때 조심할 점

첫째, 시작점과 끝점에 따라 값이 크게 달라진다. 저점에서 시작해 고점에서 끝나는 구간을 고르면 어떤 자산이든 연평균 수익률이 좋아 보인다. 홍보 자료의 연평균 수익률은 어느 구간의 숫자인지 반드시 확인해야 한다. 둘째, 수수료와 세금을 빼기 전인지 후인지에 따라 연 1%포인트 안팎의 차이가 생기고, 이 차이가 20년 복리로 쌓이면 최종 금액이 20% 넘게 벌어진다.

셋째, 매달 돈을 넣는 적립식에는 이 공식이 그대로 맞지 않는다. 연평균 수익률 공식은 처음에 한 번 넣고 끝까지 둔 돈을 전제하므로, 중간에 입출금이 있으면 내부수익률(IRR)이라는 별도 계산이 필요하다. 넷째, 연평균 수익률 20%라는 말은 10년이면 6.2배가 된다는 뜻이다. 장기간 이런 숫자를 유지한 사례는 드물기 때문에, 크게 들리는 연평균 수익률일수록 기간과 변동성을 함께 봐야 한다. 이 글은 계산 구조를 다룰 뿐이며, 실제 선택은 각자의 목적과 기간, 감당할 수 있는 변동성에 따라 달라진다.

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참고 자료

Microsoft 지원 — RRI 함수(투자 성장에 대한 등가 이율) Investopedia — Compound Annual Growth Rate (CAGR) Investopedia — Geometric Mean과 변동성 손실