원리금균등상환 계산법 — 원금균등상환과 차이

🧮 생활 속 수학

원리금균등상환 뜻과 월 상환액 공식이 등비수열의 합에서 어떻게 나오는지 끝까지 유도하고, 1억 원을 연 4%로 30년 빌렸다는 가정으로 원금균등상환과 총이자를 직접 비교했다. 거치기간과 중도상환이 잔액에 남기는 차이까지 숫자로 정리했다.

원리금균등상환은 매달 갚는 금액이 끝까지 고정되는 방식이다. 1억 원을 연 4%로 30년 빌렸다고 가정하면 월 상환액은 약 47만 7천 원이다. 원리금균등상환 뜻은 한 줄로 끝나지만, 이 숫자는 등비수열의 합에서만 나온다.

원리금균등상환 뜻은 무엇인가

원리금균등상환 뜻은 글자 그대로다. 원금과 이자를 합친 원리금이 매달 같다는 것이다. 반대로 원금균등상환은 원금을 회차로 나눈 금액이 매달 같고, 이자는 잔액에 붙으니 갚을수록 줄어든다.

계산 구조도 다르다. 원금균등상환은 나눗셈과 뺄셈으로 끝나지만, 원리금균등상환 계산은 "같은 금액을 $n$번 냈을 때 잔액이 0이 되게 하라"는 조건을 풀어야 한다. 원리금균등상환 뜻을 실용적으로 옮기면 "매달 같은 금액을 내지만 초반에는 대부분이 이자로 빠지는 방식"이다.

월 상환액 공식은 등비수열의 합에서 나온다

빌린 원금을 $P$, 월이율을 $i$, 총 회차를 $n$, 매달 낼 금액을 $M$이라 하자. 월이율은 연이율을 12로 나눈 값이다. 원리금균등상환 계산은 판단 시점을 만기로 옮기는 데서 시작한다.

갚지 않고 만기까지 두면 빚은 $P(1+i)^n$으로 불어난다. $k$번째 달에 낸 $M$은 만기까지 $n-k$개월 남으므로 $M(1+i)^{n-k}$가 된다. 이를 $k=1$부터 $n$까지 더하면 첫항 $M$, 공비 $1+i$인 등비수열의 합이다.

$$M + M(1+i) + \cdots + M(1+i)^{n-1} = M\,\frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

낸 돈을 만기로 환산한 합 — 첫항 M, 공비 1+i, 항수 n인 등비수열의 합

분모의 $i$는 공비에서 1을 뺀 값이다. 불어난 빚과 납입금이 같아야 잔액이 0이 되므로, 두 식을 같다고 놓고 $M$에 대해 정리하면 공식이 나온다.

$$P(1+i)^n = M\,\frac{(1+i)^n-1}{i} \;\Longrightarrow\; M = P\,\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$$

월 상환액 M의 최종 형태 — 스프레드시트 PMT 함수가 쓰는 식과 같다

$P$는 빌린 원금, $i$는 월이율, $n$은 총 상환 회차, $M$은 매달 내는 금액이다. 회차가 길어지면 월 상환액은 이자만 내는 금액에 수렴한다.

원리금균등상환 계산: 1억 원, 연 4%, 30년

금리는 조건마다 다르니 연 4%라고 가정하자. 1억 원, 30년이면 $P$는 1억, $i$는 0.04를 12로 나눈 약 0.003333, $n$은 360이다. $(1+i)^{360}$은 약 3.3135다.

$$M = 100{,}000{,}000 \times \frac{0.003333 \times 3.3135}{3.3135 - 1} \approx 477{,}415$$

월 상환액은 약 47만 7,415원이다. 360회를 다 내면 총 상환액이 약 1억 7,187만 원, 이자가 약 7,187만 원이다. 빌린 원금의 72%에 가까운 금액을 이자로 더 낸다.

첫 달 이자는 잔액 1억 원에 월이율을 곱한 33만 3,333원이고, 상환액에서 빼면 원금은 14만 4,082원뿐이다. 첫 회차의 약 70%가 이자다. 이자는 잔액에만 붙고, 첫 달 잔액은 아직 원금 전체다.

잔액이 줄어드는 속도는 직관보다 느리다. 원리금균등상환 계산을 회차별로 돌리면 10년(120회차)을 부어도 잔액이 약 7,878만 원, 원금의 21%만 갚힌 상태다. 잔액이 절반이 되는 시점은 231회차, 19년 3개월이다.

상환액 안에서 원금과 이자의 비중이 뒤집히는 시점도 계산으로 나온다. 원금 몫이 이자 몫을 넘어서려면 잔액이 월 상환액을 월이율의 두 배로 나눈 값, 즉 약 7,161만 원보다 작아져야 한다. 이 조건을 만족하는 첫 회차는 153회차, 12년 9개월째다. 30년 만기의 절반에 가까운 기간을 이자가 더 많은 구간으로 보낸다는 뜻이다.

금리를 바꿔 보면 이 구조가 얼마나 금리에 민감한지 드러난다. 같은 1억 원, 30년에서 연 3%를 가정하면 월 상환액이 42만 1,604원, 총이자가 약 5,178만 원이다. 연 5%에서는 월 53만 6,822원, 총이자가 약 9,326만 원으로 뛴다. 금리 2%p 차이가 30년 동안 총이자 4,148만 원을 만든다. 월 상환액 차이는 11만 원대로 작아 보이지만 360회에 걸쳐 누적되기 때문이다.

원금균등상환과 총이자는 왜 1,170만 원 벌어지나

같은 가정으로 원금균등상환을 계산해 보자. 월 원금은 1억을 360으로 나눈 27만 7,778원이다. 첫 달은 이자를 더한 61만 1,111원, 마지막 달은 27만 8,704원이다. 이자가 등차수열이니 총이자는 첫항과 끝항의 평균에 항수를 곱하면 된다.

$$I = P\,i\,\frac{n+1}{2} = 100{,}000{,}000 \times 0.003333 \times \frac{361}{2} \approx 60{,}166{,}667$$

$I$는 원금균등상환의 총이자로 약 6,017만 원이다. 원리금균등상환의 총이자 7,187만 원과 나란히 놓으면 차이가 약 1,170만 원이다.

원인은 하나다. 이자는 잔액에만 붙는다. 원리금균등상환은 초반에 원금을 조금씩만 밀어내 큰 잔액이 오래 남고, 원금균등상환은 첫 달부터 27만 7,778원을 꾸준히 깎는다.

그렇다고 원금균등상환이 언제나 낫다고 할 수는 없다. 첫 달 상환액이 월 13만 3천 원 넘게 벌어지니, 초반 현금 흐름이 빠듯하면 30년치 1,170만 원보다 당장의 13만 원이 더 센 제약이다. 어느 쪽이 맞는지는 조건마다 다르다.

거치기간과 중도상환은 잔액을 어떻게 바꾸나

거치기간은 원금을 갚지 않고 이자만 내는 구간이다. 3년 거치를 두면 36개월 동안 매달 33만 3,333원만 나가고 원금은 그대로 남는다. 남은 27년으로 원리금균등상환 계산을 다시 하면 월 상환액이 50만 5,208원, 총이자는 약 7,569만 원이 된다.

거치기간 3년이 총이자를 약 382만 원 늘렸다. 거치기간에는 잔액이 한 푼도 줄지 않으니, 이자가 붙는 금액을 3년 내내 최대치로 유지한 대가를 뒤에서 치른다. 거치기간은 시간을 사 오는 도구일 뿐이다.

중도상환은 반대로 작동한다. 60회차, 5년째 잔액은 약 9,045만 원이다. 여기서 1,000만 원을 중도상환하면 잔액이 8,045만 원이 된다. 만기를 그대로 두면 월 상환액이 42만 4,632원으로 5만 3천 원 낮아지고, 남은 이자는 약 584만 원 줄어든다.

같은 1,000만 원을 넣되 월 상환액을 유지하면 다르다. 남은 회차가 300회에서 248회로 줄어 만기가 4년 3개월 앞당겨지고, 절감 이자는 약 1,483만 원으로 커진다. 중도상환의 효과는 금액이 아니라 그 금액이 잔액을 얼마나 오래 줄여 두는가에서 나온다. 중도상환 수수료 같은 조건은 자기 숫자로 다시 계산해야 한다.

나도 처음 상환 스케줄표를 받았을 때 숫자가 잘못 찍힌 줄 알았다. 5년을 매달 47만 원씩 넣었는데 줄어든 원금이 1,000만 원도 안 됐다. 표가 아니라 원리금균등상환이 원래 그런 구조였다.

한 줄로 떨어지는 결론

• 원리금균등상환 뜻은 내는 금액이 같다는 것, 원금균등상환은 갚는 원금이 같다는 것.
• 월 상환액 공식은 만기로 환산한 등비수열의 합에서 나온다.
• 총이자·거치기간·중도상환은 한 줄로 설명된다. 이자는 잔액에만 붙는다.

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참고 자료

Wikipedia — Amortization calculator Loan Amortization: Formula Approach LibreTexts — Amortized Loans