조건부 확률이란? 공식과 예제, 베이즈 정리까지 정리

📐 개념 정리

조건부 확률은 어떤 사건이 일어났다는 조건 아래 다른 사건이 일어날 확률로, 표본공간을 조건 사건으로 줄여 다시 재는 것이 핵심이다. 공식과 곱셈정리, 독립의 판정, 수능형 예제 풀이, 베이즈 정리와 검사 오독 사례까지 한 번에 정리했다.

조건부 확률은 '사건 $A$가 일어났다고 할 때 사건 $B$가 일어날 확률'이다. 기호로는 $P(B \mid A)$라 쓰고, 세로선 뒤가 조건이다. 정의는 $P(B \mid A) = P(A \cap B) / P(A)$ 한 줄이지만, 이 한 줄이 확률과 통계 단원에서 가장 많은 오답을 만든다. 조건이 붙는 순간 분모가 전체 표본공간에서 조건 사건으로 바뀐다는 점을 놓치기 때문이다. 이 글은 조건부 확률의 정의를 표본공간의 축소로 이해하고, 곱셈정리와 독립, 대표 예제, 그리고 조건부 확률을 뒤집는 베이즈 정리까지 순서대로 다룬다.

조건부 확률 정의 — 표본공간이 줄어든다

주사위를 한 번 던져 나온 눈이 짝수라는 사실을 들었다고 하자. 이제 가능한 결과는 $\{2, 4, 6\}$ 세 가지뿐이다. 이 상태에서 '눈이 4 이상일 확률'을 물으면 답은 $2/3$이지, 원래의 $3/6 = 1/2$가 아니다. 조건 사건 $A = \{2,4,6\}$이 새로운 표본공간이 되고, 그 안에서 $B = \{4,5,6\}$과 겹치는 부분 $A \cap B = \{4,6\}$의 비율을 재는 것이다. 이것이 조건부 확률의 전부다.

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} \quad (P(A) > 0)$$

분자는 두 사건이 동시에 일어나는 경우, 분모는 조건 사건. 근원사건이 같은 확률이면 경우의 수 비로 계산해도 된다.

식에서 $P(A) > 0$이라는 조건이 붙는 이유는 일어날 수 없는 사건을 조건으로 삼을 수 없기 때문이다. 또 하나 주의할 점은 $P(B \mid A)$와 $P(A \mid B)$가 일반적으로 다르다는 것이다. '짝수일 때 4 이상일 확률'($2/3$)과 '4 이상일 때 짝수일 확률'($2/3$)은 이 예에서 우연히 같지만, 분모가 각각 $n(A)=3$과 $n(B)=3$으로 다른 계산이다. 조건과 결과를 뒤바꾸는 실수가 조건부 확률 문제 오답의 절반 이상을 차지한다.

곱셈정리와 독립 — 조건부 확률 공식의 두 얼굴

정의식의 분모를 넘기면 확률의 곱셈정리 $P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)$가 된다. 두 사건이 동시에 일어날 확률은 '먼저 하나가 일어날 확률'에 '그 조건에서 다른 하나가 일어날 확률'을 곱한 것이라는 뜻이다. 비복원 추출 문제가 전형이다. 빨간 공 3개, 파란 공 2개에서 두 개를 연달아 꺼낼 때 둘 다 빨간 공일 확률은 $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$인데, 두 번째 인수 $\frac{2}{4}$가 바로 '첫 번째가 빨간 공이었다는 조건에서 두 번째도 빨간 공일' 조건부 확률이다.

만약 $P(B \mid A) = P(B)$라면, 즉 $A$가 일어났다는 정보가 $B$의 확률을 전혀 바꾸지 않는다면 두 사건은 서로 독립이다. 이때 곱셈정리는 $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$로 단순해진다. 교과서에서 독립의 정의로 이 곱셈 형태를 쓰는 이유는 $P(A)=0$인 경우까지 포함해 대칭적으로 다룰 수 있기 때문이다. 독립과 배반은 자주 혼동되는데, 배반사건은 $P(A \cap B) = 0$이라 오히려 한쪽이 일어나면 다른 쪽은 확실히 안 일어나는, 가장 강하게 종속된 관계다. 두 사건의 확률이 모두 0이 아니면 배반이면서 독립일 수는 없다.

조건부 확률 예제 — 표로 풀면 틀리지 않는다

어느 학급 30명 중 남학생이 18명이고, 안경을 쓴 학생이 12명이며, 안경을 쓴 남학생이 8명이라 하자. 임의로 뽑은 학생이 남학생일 때 안경을 썼을 확률은 $P(\text{안경} \mid \text{남}) = 8/18 = 4/9$다. 반대로 안경을 쓴 학생일 때 남학생일 확률은 $P(\text{남} \mid \text{안경}) = 8/12 = 2/3$이다. 같은 교집합 8을 두고 분모만 18과 12로 달라진다. 이런 문제는 남/여와 안경/비안경으로 나눈 2×2 표를 그리고 조건에 해당하는 행이나 열만 남겨 읽으면 거의 실수하지 않는다.

수능형 문제에서 자주 나오는 변형은 '조건부 확률이 주어지고 교집합을 묻는' 역방향이다. 예를 들어 $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B \mid A) = \frac{1}{3}$이면 곱셈정리로 $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$이고, 여기에 $P(B) = \frac{1}{4}$가 추가되면 $P(A \mid B) = \frac{1/6}{1/4} = \frac{2}{3}$가 나온다. 문제가 주는 조건부 확률의 방향을 먼저 확인하고, 항상 교집합으로 한 번 돌아왔다가 원하는 분모로 다시 나누는 습관이 핵심이다.

베이즈 정리 — 조건부 확률을 뒤집는 법

$P(B \mid A)$는 알고 있는데 $P(A \mid B)$가 필요한 상황이 현실에는 훨씬 많다. 검사의 정확도(병이 있을 때 양성일 확률)는 알지만, 정작 궁금한 것은 양성이 나왔을 때 실제로 병이 있을 확률이기 때문이다. 곱셈정리를 두 방향으로 쓰면 $P(A)\,P(B \mid A) = P(B)\,P(A \mid B)$이고, 이를 정리한 것이 베이즈 정리다.

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid A^c)\,P(A^c)}$$

분모는 전확률 공식이다. $B$가 일어나는 모든 경로, 즉 $A$를 거치는 경로와 $A^c$를 거치는 경로의 확률을 더한 것이다.

유병률 1%인 병을 민감도 99%, 특이도 95%인 검사로 찾는다고 하자. 1만 명을 검사하면 실제 환자 100명 중 99명이 양성이고, 건강한 9,900명 중 5%인 495명도 양성이다. 양성 594명 가운데 진짜 환자는 99명이므로 $P(\text{병} \mid \text{양성}) = 99/594 \approx 0.167$, 약 17%에 불과하다. 검사 정확도 99%라는 숫자만 보고 '양성이면 99% 병'이라고 읽는 것이 조건부 확률의 방향을 뒤바꾼 대표적 오독이며, 기저율 무시(base rate neglect)라고 부른다. 조건부 확률을 제대로 이해한다는 것은 결국 이 방향을 헷갈리지 않는다는 뜻이다.

개인적으로 조건부 확률이 체감된 건 학생 때 푼 문제가 아니라 건강검진 결과지를 받아 들었을 때였다. 재검 권고 항목을 보고 놀랐다가, 유병률과 특이도를 넣어 위 계산을 해보니 양성 예측도가 생각보다 훨씬 낮았다. 물론 실제 판단은 의사의 몫이었지만, 표본공간을 '검사받은 전체'에서 '양성 판정자'로 좁혀 다시 세어보는 습관이 불필요한 공포를 덜어준다는 것을 그때 배웠다. 조건부 확률은 시험 단원이기 이전에 정보를 받았을 때 믿음을 얼마나 고쳐야 하는지 알려주는 도구다.

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참고 자료

Stanford Encyclopedia of Philosophy — Bayes' Theorem Khan Academy — Conditional probability and independence Gigerenzer & Edwards, Simple tools for understanding risks, BMJ (2003)