큰 수의 법칙이란? 뜻과 예시, 도박·보험에 숨은 원리

🧮 생활 속 수학

큰 수의 법칙은 같은 시행을 많이 반복할수록 표본 평균이 기댓값에 가까워진다는 확률의 기본 정리다. 큰 수의 법칙 뜻과 동전 던지기 예시, 카지노와 보험이 이 법칙으로 수익을 내는 구조, 도박사의 오류와 다른 점을 숫자 계산으로 정리했다.

큰 수의 법칙은 한 번의 결과는 예측할 수 없어도 수천, 수만 번의 평균은 놀랄 만큼 정확하게 예측된다는 정리다. 동전 열 번의 앞면 비율은 0.3이 될 수도 0.8이 될 수도 있지만, 만 번을 던지면 0.5에서 1%도 벗어나기 어렵다. 카지노가 손님 한 명에게는 지면서도 연말 결산에서는 거의 정확히 정해진 비율만큼 벌고, 보험사가 누가 사고를 낼지 모르면서도 보험료를 계산할 수 있는 이유가 전부 이 한 줄에 들어 있다.

큰 수의 법칙이란? 뜻과 정의

큰 수의 법칙 뜻은 단순하다. 서로 독립이고 같은 분포를 따르는 시행을 반복해 결과의 평균을 내면, 시행 횟수가 커질수록 그 표본 평균이 이론적인 기댓값에 가까워진다는 것이다. 스위스 수학자 야코프 베르누이가 1713년에 출간된 《추측술》에서 처음 증명했고, 그는 이것을 황금 정리라고 불렀다. 수학자들은 나중에 이를 두 갈래로 다듬었다. 표본 평균이 기댓값에서 일정 거리 이상 벗어날 확률이 0으로 줄어든다는 약한 큰 수의 법칙과, 표본 평균이 거의 확실하게 기댓값으로 수렴한다는 강한 큰 수의 법칙이다. 생활에서 쓰는 직관은 두 쪽 모두 같다.

$$\bar{X}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\;\longrightarrow\;\mu \quad (n\to\infty)$$

$X_1,\dots,X_n$은 각 시행의 결과, $\bar{X}_n$은 $n$번 시행의 표본 평균, $\mu$는 한 번 시행의 기댓값이다. 화살표는 시행 횟수가 커질수록 왼쪽이 오른쪽에 가까워진다는 뜻이다.

증명의 뼈대는 체비쇼프 부등식이다. 표본 평균의 분산은 한 번 시행의 분산을 $n$으로 나눈 값이므로, 평균이 기댓값에서 $\varepsilon$ 이상 벗어날 확률은 기껏해야 분산을 $n\varepsilon^2$으로 나눈 값보다 작다. $n$이 커지면 이 상한이 0으로 내려가고, 그것이 곧 약한 큰 수의 법칙이다. 즉 큰 수의 법칙은 신비로운 균형의 힘이 아니라, 나누는 수 $n$이 커지면 흔들림이 줄어든다는 산수에 가깝다.

동전 던지기 예시로 보는 큰 수의 법칙

가장 흔한 큰 수의 법칙 예시는 동전 던지기다. 앞면이 나올 확률이 0.5인 동전을 $n$번 던졌을 때 앞면 비율이 얼마나 흔들리는지는 표준편차로 잴 수 있다. 열 번이면 0.158, 백 번이면 0.05, 만 번이면 0.005다. 열 번 던져 앞면이 7번 나오는 일은 흔하지만, 만 번 던져 앞면이 7,000번 나오는 일은 사실상 일어나지 않는다.

$$\sigma_{\bar{X}_n}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\qquad \sqrt{\frac{0.25}{10{,}000}}=0.005$$

$p$는 한 번 시행에서 성공할 확률, $n$은 시행 횟수, $\sigma_{\bar{X}_n}$은 표본 비율의 표준편차다. 시행 횟수를 4배로 늘리면 흔들림은 절반으로 준다.

여기서 꼭 짚어야 할 점이 있다. 수렴하는 것은 비율이지 개수가 아니다. 만 번을 던졌을 때 앞면 개수의 표준편차는 50개다. 열 번 던질 때는 앞면과 뒷면이 두세 개 차이 나는 정도지만, 만 번을 던지면 앞면이 뒷면보다 100개쯤 많은 일이 흔하다. 비율의 흔들림은 $\sqrt{n}$분의 1로 줄어드는데 개수의 흔들림은 $\sqrt{n}$배로 커지기 때문이다. 큰 수의 법칙은 앞면과 뒷면의 개수를 맞춰 주지 않는다. 이 사실이 다음에 이야기할 오해의 뿌리다.

카지노와 보험이 큰 수의 법칙으로 돈을 버는 구조

유럽식 룰렛에는 빨강 18칸, 검정 18칸, 초록 0이 한 칸 있다. 빨강에 1만 원을 걸면 이길 확률은 37분의 18이고, 이기면 1만 원을 받고 지면 1만 원을 잃는다. 한 판의 기댓값을 계산하면 손님이 평균 270원을 잃는다는 결과가 나온다. 이 2.7%가 하우스 엣지다.

$$E[X]=(+1)\cdot\frac{18}{37}+(-1)\cdot\frac{19}{37}=-\frac{1}{37}\approx-0.027$$

$X$는 1만 원을 걸었을 때의 손익을 1만 원 단위로 나타낸 값이다. 기댓값이 음수이므로 판이 거듭될수록 손님의 평균 손익은 이 값으로 수렴한다.

한 손님이 하룻밤에 크게 따는 일은 얼마든지 있다. 그러나 카지노의 한 해는 수백만 판의 합이다. 큰 수의 법칙에 따라 판당 평균 손익은 정확히 마이너스 2.7%에 달라붙고, 판이 많아질수록 이 비율에서 벗어날 여지는 줄어든다. 카지노는 도박을 하는 것이 아니라 큰 수의 법칙을 판매하는 셈이다. 손님 쪽에서 보면 결론도 분명하다. 기댓값이 음수인 게임은 오래 할수록 평균이 기댓값으로 수렴하므로, 오래 하는 것 자체가 불리하다.

보험은 같은 원리를 반대 방향으로 쓴다. 어떤 집단의 연간 사고 확률이 2%이고 사고당 평균 손해가 1,000만 원이라면 한 사람의 기대 손해는 20만 원이다. 문제는 누가 사고를 낼지 모른다는 것인데, 가입자가 10만 명이면 예상 사고 건수는 2,000건이고 표준편차는 약 44건이다. 실제 사고가 예상보다 5% 넘게 많을 확률은 1% 정도에 불과하다. 반면 가입자가 1,000명뿐이면 예상 20건에 표준편차가 4.4건이라, 5% 초과는 사고 한 건 차이일 뿐이고 그런 일은 열 번 중 네 번 꼴로 일어난다. 가입자가 많을수록 손해액을 정확히 예측할 수 있고, 그래서 보험료는 기대 손해에 운영비와 안전 여유를 더한 값으로 정해진다. 실제 보험료가 나에게 유리한지는 내 위험도와 조건이 집단 평균과 얼마나 다른지에 달려 있어 사람마다 답이 다르다.

도박사의 오류와 큰 수의 법칙은 어떻게 다른가

앞면이 다섯 번 연속 나오면 다음은 뒷면이 나올 차례라고 느끼는 것이 도박사의 오류다. 이 착각은 큰 수의 법칙을 잘못 읽은 데서 온다. 법칙이 말하는 것은 앞으로의 수많은 시행이 과거의 치우침을 희석한다는 것이지, 동전이 과거를 기억하고 보상한다는 것이 아니다. 앞면 5개가 앞선 상태에서 만 번을 더 던지면 기대되는 앞면은 5,000개이고, 전체 비율은 10,005분의 5,005, 약 0.50025가 된다. 뒷면이 더 나와서가 아니라 분모가 커져서 0.5에 가까워지는 것이다.

그래서 각 시행이 독립이라면 어떤 패턴도 다음 결과의 확률을 바꾸지 못한다. 로또 번호가 오래 안 나왔다고 나올 때가 된 것도 아니고, 몇 판을 잃었다고 이제 딸 차례가 온 것도 아니다. 큰 수의 법칙은 오히려 반대 방향의 경고다. 기댓값이 음수인 시행을 오래 반복할수록 평균 손실은 더 확실해진다.

표본이 작을 때 생기는 착각 — 작은 수의 법칙

큰 수의 법칙을 뒤집으면 작은 표본은 크게 흔들린다는 뜻이 된다. 심리학자 대니얼 카너먼과 아모스 트버스키는 사람들이 작은 표본도 모집단을 충실히 닮았을 것이라고 믿는 경향을 작은 수의 법칙이라 부르며 꼬집었다. 학생 수가 적은 학교가 평균 성적 순위의 맨 위와 맨 아래에 동시에 몰리는 현상, 리뷰 다섯 개짜리 별점 4.9, 초기 참가자 스무 명의 임상 결과가 나중에 뒤집히는 일이 모두 같은 원리다. 표본이 작으면 극단값이 흔하고, 그 극단값은 실력이나 효과가 아니라 흔들림일 때가 많다.

여론조사에서 표본 1,000명의 오차범위가 95% 신뢰수준에서 약 ±3.1%포인트로 나오는 것도 같은 식에서 나온다. 표본을 4,000명으로 늘리면 오차는 절반인 ±1.55%포인트가 되지만 비용은 네 배가 든다. 큰 수의 법칙은 표본을 키우면 정확해진다는 약속과 동시에, 정확도를 두 배 올리려면 표본을 네 배 키워야 한다는 청구서를 함께 내민다.

학부 시절 확률 과제로 동전 던지기를 직접 천 번 해 본 적이 있다. 백 번쯤 던졌을 때 앞면이 58개라 동전이 휜 게 아닌지 의심했는데, 천 번을 채우니 앞면은 506개였다. 비율은 0.506으로 얌전해졌지만 앞면이 뒷면보다 12개 많다는 사실은 그대로였다. 비율은 수렴하고 개수는 벌어진다는 문장을 그날 몸으로 이해했고, 그 뒤로 적은 표본으로 내린 결론은 한 번 더 의심하는 버릇이 생겼다.

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참고 자료

Wikipedia — Law of large numbers Encyclopaedia Britannica — Law of large numbers Tversky & Kahneman — Belief in the law of small numbers, Psychological Bulletin (1971) Wolfram MathWorld — Weak Law of Large Numbers