도박사의 오류란? 뜻과 사례, 큰수의 법칙과 다른 점

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도박사의 오류는 앞선 결과가 다음 결과의 확률을 바꾼다고 믿는 착각입니다. 독립 시행의 뜻, 몬테카를로 카지노 사례, 큰수의 법칙·평균 회귀와 헷갈리는 이유를 계산으로 정리합니다.

도박사의 오류(gambler's fallacy)는 서로 독립인 사건이 연달아 한쪽으로 나왔을 때 "이제 반대쪽이 나올 때가 됐다"고 믿는 확률 판단 착오입니다. 동전이 다섯 번 연속 앞면이 나와도 여섯 번째에 뒷면이 나올 확률은 여전히 정확히 $1/2$입니다. 동전에는 기억이 없기 때문입니다.

도박사의 오류 뜻, 정확히 무엇이 틀렸나?

도박사의 오류의 핵심은 독립 시행이라는 개념을 무시하는 데 있습니다. 두 사건 $A$, $B$가 독립이라는 말은 한쪽이 일어났다는 정보가 다른 쪽의 확률을 조금도 바꾸지 못한다는 뜻입니다. 조건부 확률로 쓰면 $P(B \mid A) = P(B)$가 성립합니다. 앞면이 다섯 번 나온 사건을 $A$, 여섯 번째가 뒷면인 사건을 $B$라고 하면, 공정한 동전에서 $P(B \mid A)$는 여전히 $1/2$입니다.

사람들이 헷갈리는 지점은 "앞면 여섯 번 연속"이라는 사건 전체의 확률입니다. 이 확률은 $(1/2)^6 = 1/64$로 분명 작습니다. 그런데 이미 다섯 번이 나온 뒤라면, 그 다섯 번은 확정된 과거입니다. 남은 것은 여섯 번째 한 번뿐이고, 그 한 번의 확률은 $1/2$입니다. 도박사의 오류는 "앞으로 여섯 번 연속 나올 확률"과 "다섯 번 나온 뒤 한 번 더 나올 확률"을 같은 것으로 착각하는 데서 생깁니다.

반대 방향의 착각도 도박사의 오류에 속합니다. 연달아 앞면이 나왔으니 "지금 앞면이 뜨거우니 계속 앞면"이라고 믿는 쪽은 뜨거운 손 오류(hot hand fallacy)라고 따로 부르지만, 과거 결과가 독립 시행의 다음 결과를 좌우한다고 보는 구조는 같습니다.

도박사의 오류 사례 — 1913년 몬테카를로 룰렛

가장 유명한 도박사의 오류 사례는 1913년 8월 모나코 몬테카를로 카지노의 룰렛입니다. 이날 룰렛 공은 검은색에 26번 연속 떨어졌습니다. 검은색이 열 몇 번 이어지자 사람들은 "이제 빨간색이 나올 차례"라며 빨간색에 돈을 걸기 시작했고, 연속이 길어질수록 판돈은 커졌습니다. 결과적으로 카지노는 그 몇 시간 동안 수백만 프랑을 벌었다고 전해집니다.

확률로 따져보겠습니다. 유럽식 룰렛은 0 하나를 포함해 37칸이고, 검은색은 18칸입니다. 한 번에 검은색이 나올 확률은 $18/37 \approx 0.486$이고, 26번 연속으로 나올 확률은 다음과 같습니다.

$$P(\text{검정 26연속}) = \left(\frac{18}{37}\right)^{26} \approx 7.3 \times 10^{-9}$$

약 1억 3,700만 번에 한 번꼴로 일어나는 사건

분명히 극히 드문 사건입니다. 그러나 이미 25번이 검은색으로 끝난 시점에서 26번째가 검은색일 확률은 여전히 $18/37$이고, 빨간색일 확률도 똑같이 $18/37$입니다. 25번의 결과는 확률에 아무 영향도 주지 못합니다. 이 사례가 도박사의 오류를 대표하게 된 이유는, 사건 자체의 희귀함이 아니라 희귀한 사건 한복판에서도 다음 한 번의 확률은 변하지 않는다는 점을 가장 극적으로 보여줬기 때문입니다.

큰수의 법칙과 도박사의 오류는 어떻게 다른가?

도박사의 오류를 옹호하는 사람들이 자주 꺼내는 근거가 큰수의 법칙(대수의 법칙)입니다. "동전을 많이 던지면 앞면 비율이 $1/2$에 가까워지니, 앞면이 많이 나왔으면 뒷면이 더 나와서 균형을 맞춰야 한다"는 논리입니다. 이 추론은 큰수의 법칙을 잘못 읽은 것입니다.

큰수의 법칙이 말하는 것은 비율이 수렴한다는 사실이지, 개수가 균형을 맞춘다는 뜻이 아닙니다. 동전을 $n$번 던져 앞면이 $H_n$번 나왔다고 하면, 법칙의 내용은 다음과 같습니다.

$$\frac{H_n}{n} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty)$$

수렴하는 것은 비율이며, 앞면과 뒷면의 개수 차이 $H_n - (n - H_n)$이 0으로 가는 것이 아니다

구체적인 숫자로 보겠습니다. 처음 10번에서 앞면이 10번 나왔다고 합시다. 이후 990번을 더 던지면 앞면은 평균적으로 495번 나옵니다. 총 1,000번 중 앞면은 약 505번, 비율은 $0.505$입니다. 처음의 $1.0$에서 $0.505$까지 내려온 것은 뒷면이 더 많이 나와서가 아니라, 처음 10번의 편차가 990번이라는 큰 분모에 희석됐기 때문입니다. 앞면과 뒷면의 개수 차이는 여전히 10 그대로입니다. 큰수의 법칙은 편차를 "되갚아" 없애는 것이 아니라, 편차를 그대로 둔 채 묻어버립니다.

평균 회귀도 마찬가지로 오해되기 쉽습니다. 평균 회귀는 극단적인 값 다음에는 평균에 가까운 값이 나오기 쉽다는 통계 현상입니다. 하지만 이것은 극단값이 원래 드물기 때문에 생기는 결과이지, 앞선 극단값이 다음 값을 반대 방향으로 끌어당기기 때문이 아닙니다. 다음 시행의 분포는 앞선 결과와 무관하게 늘 같습니다.

독립이 아닌 경우도 있다 — 도박사의 오류가 아닌 상황

도박사의 오류는 독립 시행에만 적용되는 개념입니다. 시행이 독립이 아니면 앞선 결과가 다음 확률을 실제로 바꿉니다. 카드 한 벌에서 카드를 뽑고 다시 넣지 않는 경우가 대표적입니다. 52장 중 에이스 4장이 있을 때 첫 장이 에이스일 확률은 $4/52$이지만, 첫 장이 에이스였다면 둘째 장이 에이스일 확률은 $3/51$로 내려갑니다. 이런 상황에서 "에이스가 나왔으니 다음 에이스는 덜 나온다"고 판단하는 것은 오류가 아니라 정확한 조건부 확률 계산입니다.

반대로, 독립이라고 가정한 시행이 실제로는 편향돼 있을 가능성도 있습니다. 동전이 100번 중 90번 앞면이 나왔다면 "다음은 뒷면"이라고 믿는 것도 오류이지만, "이 동전은 공정하다"고 계속 믿는 것도 합리적이지 않습니다. 공정한 동전이 100번 중 90번 이상 앞면을 낼 확률은 $10^{-16}$보다 작습니다. 이럴 때 합리적인 추론은 다음 결과를 뒤집는 것이 아니라 동전 자체가 편향됐다고 의심하고, 다음도 앞면 쪽에 확률을 더 두는 것입니다. 도박사의 오류와 정반대 방향이지만, 근거는 베이즈적 갱신이라는 전혀 다른 논리입니다.

일상에서 도박사의 오류가 나타나는 곳

복권이 대표적입니다. 지난 회차에 나오지 않은 번호를 "나올 때가 된 번호"로 고르는 방식은 전형적인 도박사의 오류입니다. 추첨 기계는 회차마다 초기화되고, 어떤 번호 조합이든 당첨 확률은 같습니다. 오랫동안 안 나온 번호를 고르는 전략이 손해를 보는 것은 아니지만, 이득을 주는 것도 아닙니다.

출산도 자주 등장하는 예입니다. 아들이 셋 연속이면 "다음은 딸일 확률이 높다"는 말을 듣게 되지만, 각 출산에서 성별은 거의 독립이며 확률도 대략 절반 부근에서 고정돼 있습니다. 실제로 이 예는 1796년 라플라스가 확률 이론을 설명하며 언급했을 만큼 오래된 착각입니다.

더 미묘한 예는 판단 업무입니다. 심사관이나 심판이 비슷한 결정을 여러 번 연속으로 내린 뒤에는, 다음 건에서 무의식적으로 반대 결정을 내리는 경향이 실제 데이터에서 관찰됩니다. 각 건이 독립이라면 앞선 결정 횟수는 다음 건의 판단 근거가 될 수 없는데도 "너무 한쪽으로 몰렸다"는 감각이 결정을 흔드는 것입니다. 도박사의 오류는 카지노가 아니라 사람의 직관 어디에나 스며 있습니다.

저도 이 오류를 몸으로 배운 적이 있습니다. 보드게임에서 주사위 6이 네 번 연속 나오지 않자 다음 판에 6이 나온다는 데 상당히 확신을 갖고 판을 짰다가 크게 졌습니다. 그 뒤로는 연속된 결과를 볼 때마다 "이 시행이 독립인가, 아닌가"를 먼저 묻는 습관이 생겼습니다. 이 질문 하나가 도박사의 오류를 피하는 거의 유일한 방법입니다. 시행이 독립이면 과거는 잊어도 되고, 독립이 아니면 과거를 어떻게 반영할지 조건부 확률로 계산해야 합니다.

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참고 자료

Wikipedia — Gambler's fallacy Wikipedia — Law of large numbers Chen, Moskowitz & Shue — Decision-Making under the Gambler's Fallacy (NBER Working Paper)