기댓값 뜻과 계산 공식, 생활 속 확률 판단법

🧮 생활 속 수학

기댓값은 확률과 결과값을 곱해 더한 평균 결과다. 기댓값 뜻과 계산 공식, 복권·보험·게임 확률 판단에 적용하는 법, 그리고 기댓값만 보면 놓치는 위험까지 한 번에 정리했다.

기댓값은 어떤 선택을 아주 많이 반복했을 때 한 번당 평균적으로 얻게 되는 값이다. 계산은 단순하다. 일어날 수 있는 각 결과에 그 결과가 나올 확률을 곱하고, 전부 더하면 끝이다. 복권을 살지, 보험에 들지, 게임에서 강화를 시도할지 같은 결정은 결국 기댓값 비교 문제로 바뀐다. 다만 기댓값은 평균일 뿐이라, 이 글 뒷부분에서 다루는 분산과 파산 위험을 함께 봐야 실제 결정에 쓸 수 있다.

기댓값 뜻, 왜 평균과 같으면서 다를까?

기댓값의 정의는 확률로 가중한 평균이다. 시험 점수의 평균은 이미 나온 결과를 개수로 나누지만, 기댓값은 아직 일어나지 않은 결과를 확률로 가중해서 더한다. 그래서 기댓값은 미래를 향한 평균이라고 부를 수 있다. 확률변수 $X$가 값 $x_1, x_2, \dots, x_n$을 각각 확률 $p_1, p_2, \dots, p_n$으로 가질 때 기댓값 공식은 다음과 같다.

$$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \, p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$

각 결과값에 그 확률을 곱한 뒤 모두 더한다. 확률의 합은 항상 1이다.

주사위 한 개를 던질 때 나오는 눈의 기댓값을 계산해 보자. 1부터 6까지 각각 확률 $1/6$이니 $E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$다. 주사위에 3.5라는 눈은 없다. 기댓값이 실제로 나올 수 있는 값이 아니어도 된다는 점이 여기서 드러난다. 기댓값은 한 번의 결과를 예언하는 숫자가 아니라, 수백 번 던진 뒤 평균을 냈을 때 수렴하는 자리다. 이 성질을 큰 수의 법칙이라고 하며, 기댓값이 생활에서 힘을 갖는 이유이기도 하다.

기댓값 계산 예시: 복권 한 장의 진짜 값

가장 흔한 기댓값 계산 사례는 복권이다. 단순화한 가상의 복권을 하나 생각해 보자. 한 장 가격은 1,000원, 1등 1억 원이 나올 확률은 100만분의 1, 5,000원 소액 당첨 확률은 100분의 1, 나머지는 꽝이다. 당첨금의 기댓값은 $100{,}000{,}000 \times 0.000001 + 5{,}000 \times 0.01 = 100 + 50 = 150$원이다. 1,000원을 내고 평균 150원을 돌려받는 구조이니 한 장당 기댓값은 $150 - 1{,}000 = -850$원이 된다.

실제 복권은 판매액의 절반 안팎만 당첨금으로 돌아가도록 설계되므로, 어떤 복권이든 구매자의 기댓값은 음수다. 이것은 복권이 나쁘다는 도덕적 판단이 아니라 계산 결과일 뿐이다. 기댓값이 음수인 것을 사는 사람은 850원을 재미와 기대감의 값으로 지불하는 셈이고, 그 자체는 개인의 선택이다. 중요한 것은 기댓값 계산을 알고 나면 '언젠가 본전은 찾는다'는 생각이 수학적으로 성립하지 않는다는 점을 분명히 볼 수 있다는 것이다.

게임 아이템 강화도 같은 틀로 본다. 성공 확률 30%에 성공 시 아이템 가치가 10만 원 오르고, 실패하면 3만 원짜리 재료가 사라진다고 하자. 한 번 시도의 기댓값은 $0.3 \times 100{,}000 + 0.7 \times (-30{,}000) = 30{,}000 - 21{,}000 = 9{,}000$원으로 양수다. 기댓값이 양수라면 반복할수록 평균 이득이 쌓인다. 다만 이 계산은 실패 시 아이템 파괴처럼 큰 손실이 없다는 가정 위에 서 있고, 그 조건이 바뀌면 부호도 바뀔 수 있다.

보험 기댓값은 왜 마이너스인데도 드는가?

보험료의 기댓값을 계산하면 가입자 입장에서는 거의 항상 음수다. 보험사는 사고 확률과 보상액으로 보험금 기댓값을 구하고, 그 위에 운영비와 이윤을 얹어 보험료를 정하기 때문이다. 1년에 사고 확률 1%, 사고 시 손실 5,000만 원인 상황을 가정하면 손실의 기댓값은 50만 원이다. 보험료가 60만 원이라면 가입자는 평균 10만 원을 손해 보는 구조다.

그런데도 보험이 합리적일 수 있는 이유는 기댓값이 잡아내지 못하는 것, 즉 결과의 흩어짐에 있다. 보험 없이 5,000만 원 손실을 한 번에 맞으면 생활이 무너질 수 있지만, 매년 60만 원은 감당할 수 있다. 같은 기댓값이라도 결과가 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타내는 분산이 다르면 사람의 선택은 달라진다. 복권은 기댓값이 음수인데 분산을 사는 것이고, 보험은 기댓값이 음수인데 분산을 파는 것이다. 두 행동이 정반대처럼 보여도 수학적으로는 같은 축 위에 있다.

따라서 기댓값 계산은 '이 선택이 평균적으로 얼마인가'까지만 알려준다. 그 평균을 받아들이기 위해 어느 정도의 변동을 견딜 수 있는지는 사람마다 자산, 소득, 가족 상황에 따라 다르다. 특정 보험이나 금융 상품이 좋다 나쁘다를 이 글에서 말할 수는 없고, 기댓값과 분산을 나눠 보는 습관이 판단의 출발점이라는 것까지가 수학이 해 줄 수 있는 일이다.

기댓값의 선형성, 계산을 단순하게 만드는 성질

기댓값이 실무에서 편리한 이유는 선형성이라는 성질 덕분이다. 두 확률변수 $X, Y$와 상수 $a, b$에 대해 다음이 언제나 성립한다.

$$E[aX + bY] = a\,E[X] + b\,E[Y]$$

두 변수가 서로 독립이든 아니든 상관없이 성립한다.

이 식이 뜻하는 것은 합의 기댓값은 기댓값의 합이라는 것이다. 주사위 두 개를 던져 눈의 합을 구할 때, 36가지 경우를 일일이 나열하지 않아도 $3.5 + 3.5 = 7$로 기댓값이 나온다. 복권을 10장 사면 기댓값은 한 장의 10배인 $-8{,}500$원이고, 강화를 다섯 번 시도하면 기댓값은 $9{,}000 \times 5 = 45{,}000$원이다. 여러 번의 선택이 얽혀 있어도 각 선택의 기댓값을 따로 계산해 더하면 되므로, 복잡한 상황을 부분으로 쪼개서 볼 수 있게 해 준다.

선형성이 성립하지 않는 것도 알아두면 좋다. 곱의 기댓값 $E[XY]$는 두 변수가 독립일 때만 $E[X]E[Y]$와 같다. 또 $E[1/X]$는 $1/E[X]$가 아니다. 평균 속도 문제에서 갈 때 시속 60, 올 때 시속 40으로 달렸을 때 왕복 평균 속도가 50이 아니라 48이 되는 것이 바로 이 함정이다. 기댓값을 계산할 때는 무엇의 기댓값을 구하는지 대상을 먼저 정확히 정해야 한다.

기댓값만 보면 틀리는 순간: 분산과 파산 위험

기댓값이 양수라고 무조건 반복해도 되는 것은 아니다. 동전을 던져 앞면이면 자산이 50% 늘고 뒷면이면 40% 줄어드는 게임을 생각해 보자. 한 판의 기댓값은 $0.5 \times 1.5 + 0.5 \times 0.6 = 1.05$, 즉 판당 5% 이득으로 보인다. 그런데 앞면과 뒷면이 한 번씩 나오면 자산은 $1.5 \times 0.6 = 0.9$배가 된다. 이 게임을 계속하면 기댓값은 계속 커지지만, 실제로 대부분의 사람은 자산이 0으로 수렴한다. 몇 명이 천문학적으로 이겨서 평균을 끌어올리고, 나머지는 파산하는 구조다.

이런 현상은 기댓값이 산술평균인데 자산의 성장은 곱셈으로 쌓이기 때문에 생긴다. 반복해서 전 재산을 거는 선택에서는 기댓값보다 기하평균, 그리고 한 번에 얼마를 걸어야 파산을 피하는지 계산하는 켈리 기준 같은 도구가 필요하다. 생활에서 기억할 결론은 간단하다. 기댓값이 양수여도 한 번의 실패가 다음 기회를 없애 버리는 크기라면, 그 선택은 반복할 수 없다.

나도 처음 기댓값 개념을 배웠을 때는 모든 결정을 기댓값 하나로 정리할 수 있을 것 같아 신이 났다. 그런데 친구와 작은 내기를 하면서, 내가 이길 확률이 60%라도 판돈이 한 달 용돈 전부라면 손이 떨린다는 것을 몸으로 알게 됐다. 기댓값이 같아도 잃을 수 있는 크기가 다르면 전혀 다른 선택이라는 것을 그때 배웠고, 이후로는 기댓값과 최악의 경우를 항상 나란히 적어 두는 습관이 생겼다.

기댓값 계산을 생활 결정에 쓰는 3단계

첫째, 일어날 수 있는 결과를 빠짐없이 적고 각 확률을 붙인다. 확률의 합이 1이 되는지 확인하면 빠진 경우를 잡을 수 있다. 둘째, 결과값에 확률을 곱해 더해 기댓값을 구한다. 이때 비용은 음수로 넣어야 순기댓값이 나온다. 셋째, 기댓값 옆에 최악의 결과와 그 확률을 나란히 적는다. 기댓값이 양수이고 최악의 결과를 감당할 수 있으면 반복할 가치가 있는 선택이고, 기댓값이 음수인데도 하고 싶다면 그 차이가 내가 재미나 안심에 지불하는 값이라는 것을 인지하고 결정하면 된다.

기댓값은 확률과 결과값을 곱해 더한 미래의 평균이다. 이 하나의 숫자가 복권, 보험, 게임, 내기를 같은 저울 위에 올려 준다. 다만 저울이 보여주는 것은 평균까지이며, 흩어짐과 파산 위험은 따로 봐야 한다. 실제 금융 결정은 각자의 조건에 따라 달라지므로, 기댓값 계산은 결정을 대신하는 것이 아니라 결정을 또렷하게 만드는 도구로 쓰는 것이 맞다.

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참고 자료

Wikipedia — Expected value Wikipedia — Law of large numbers Wikipedia — Kelly criterion