이산확률변수 뜻과 예시, 기댓값 구하는 법

📐 개념 정리

확률과 통계에서 가장 먼저 만나는 벽, 이산확률변수를 주사위와 동전 예시로 풀어봅니다. 확률분포표를 세우는 법부터 확률질량함수, 기댓값과 분산 공식까지 차근차근 정리했습니다.

이산확률변수는 확률변수가 가질 수 있는 값을 하나, 둘, 셋처럼 셀 수 있는 경우를 말합니다. 주사위 눈의 수, 동전 앞면이 나온 횟수, 하루에 걸려 온 전화 통수처럼 값이 뚝뚝 끊어져 있는 변수가 모두 여기에 해당합니다. 값을 셀 수 있다는 이 한 문장이 확률과 통계 단원 전체를 지탱하는 출발점입니다.

이산확률변수란 무엇인가?

먼저 확률변수부터 정리해야 합니다. 확률변수는 어떤 시행의 결과 하나하나에 실수를 대응시킨 함수입니다. 동전을 두 번 던지는 시행에서 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지인데, 여기에 "앞면이 나온 횟수"라는 규칙을 붙이면 각 결과가 2, 1, 1, 0이라는 숫자로 바뀝니다. 이렇게 결과를 숫자로 번역해 주는 장치가 확률변수이고, 보통 대문자 $X$, $Y$로 씁니다.

이때 $X$가 가질 수 있는 값이 $0,\,1,\,2$처럼 유한하거나, 혹은 무한하더라도 하나씩 번호를 매겨 나열할 수 있다면 이 $X$를 이산확률변수라고 부릅니다. 이산(離散)이라는 한자어가 "떨어져 흩어져 있다"는 뜻이니, 이름 자체가 성질을 설명하고 있는 셈입니다. 반대로 키나 몸무게, 시간처럼 구간 안의 모든 실수를 빈틈없이 가질 수 있으면 연속확률변수가 됩니다.

많은 학생이 여기서 한 번 미끄러집니다. "값이 유한하면 이산확률변수"라고 외워 버리는 것입니다. 하지만 앞면이 처음 나올 때까지 던진 횟수처럼 $1, 2, 3, \dots$으로 끝없이 이어지는 경우도 이산확률변수입니다. 기준은 개수가 아니라 하나씩 셀 수 있는가입니다. 자연수처럼 번호를 붙여 줄 세울 수 있으면 값이 무한히 많아도 이산확률변수입니다.

이산확률변수 예시에는 어떤 것이 있을까?

교과서에 가장 먼저 등장하는 이산확률변수 예시는 주사위입니다. 주사위 한 개를 던져 나온 눈의 수를 $X$라 하면 $X$는 $1$부터 $6$까지의 값만 가지고, 각 값이 나올 확률은 모두 $\frac{1}{6}$입니다. 값이 딱 여섯 개로 끊어져 있으니 전형적인 이산확률변수입니다. 눈의 수가 $2.5$인 경우는 존재하지 않는다는 점이 핵심입니다.

동전 세 개를 동시에 던져 앞면이 나온 개수를 $X$라 하는 것도 자주 쓰이는 이산확률변수 예시입니다. 이때 $X$는 $0, 1, 2, 3$의 값을 가지며 각각의 확률은 $\frac{1}{8},\ \frac{3}{8},\ \frac{3}{8},\ \frac{1}{8}$이 됩니다. 분모가 8인 이유는 세 개의 동전이 만들어 내는 경우의 수가 $2^3=8$가지이기 때문이고, 분자는 그중 앞면이 해당 개수만큼 나오는 경우의 수입니다.

생활 속으로 넓혀 보면 이산확률변수 예시는 훨씬 흔합니다. 하루 동안 편의점에 들어온 손님 수, 100개를 검사했을 때 나온 불량품 개수, 한 학기에 결석한 날수, 야구 경기에서 친 안타 수가 모두 이산확률변수입니다. 반면 사람의 키, 건전지의 수명, 버스를 기다린 시간은 소수점 아래로 얼마든지 잘게 쪼갤 수 있으므로 연속확률변수입니다. 문제를 읽고 "셀 수 있는가, 잴 수 있는가"를 먼저 판단하는 습관을 들이면 단원 전체가 편해집니다.

확률분포표와 확률질량함수는 어떻게 만들까?

이산확률변수를 다룬다는 것은 결국 "어떤 값이 얼마의 확률로 나오는가"를 빠짐없이 적어 두는 일입니다. 이 대응 관계를 함수로 쓴 것이 확률질량함수이고, 표로 옮겨 적은 것이 확률분포표입니다. 두 가지는 같은 정보를 다른 형식으로 담고 있을 뿐입니다.

$$P(X=x_i)=p_i \qquad (i=1,\,2,\,\dots,\,n)$$

여기서 $X$는 이산확률변수, $x_i$는 그 변수가 가질 수 있는 $i$번째 값, $p_i$는 그 값이 나올 확률입니다. $P(X=x_i)$는 "확률변수 $X$가 값 $x_i$를 가질 확률"이라고 읽습니다. 이 대응 규칙 전체를 확률질량함수라고 부르며, 이산확률변수에서만 쓰는 이름입니다. 연속확률변수에서는 같은 자리에 확률밀도함수가 들어갑니다.

확률질량함수에는 반드시 지켜야 할 두 가지 조건이 있습니다. 첫째, 모든 확률은 $0 \le p_i \le 1$을 만족해야 합니다. 둘째, 모든 확률을 더하면 $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$이 되어야 합니다. 확률분포표에서 미지수 $a$를 구하라는 문제는 예외 없이 이 둘째 조건을 쓰라는 신호입니다. 표에 적힌 확률을 모두 더해 1로 놓고 방정식을 풀면 답이 나옵니다.

확률분포표를 세우는 3단계

• 1단계 — 시행의 결과를 모두 나열하고, 문제가 요구하는 규칙으로 각 결과를 숫자로 바꿉니다. 이 숫자가 이산확률변수의 값입니다.
• 2단계 — 같은 값끼리 묶어 각 값이 나올 확률을 경우의 수로 계산합니다. 이것이 확률질량함수의 값이 됩니다.
• 3단계 — 확률의 총합이 1인지 반드시 검산합니다. 1이 아니면 앞의 두 단계 어딘가에서 경우를 빠뜨린 것입니다.

이산확률변수 기댓값과 분산 구하는 법

확률분포표를 완성했다면 그다음은 이 분포를 대표하는 숫자를 뽑아낼 차례입니다. 분포의 중심을 알려 주는 값이 기댓값, 흩어진 정도를 알려 주는 값이 분산입니다. 이산확률변수의 기댓값은 값과 확률을 곱해서 모두 더하는 방식으로 구합니다.

$$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$$

$E(X)$는 기댓값을 뜻하고 평균을 나타내는 기호 $m$으로도 씁니다. $\sum$은 시그마라고 읽으며 뒤에 오는 항들을 $i=1$부터 $i=n$까지 모두 더하라는 기호입니다. 즉 기댓값은 "값 곱하기 그 값이 나올 확률"을 전부 합한 가중평균입니다. 단순 평균과 다른 점은 자주 나오는 값에 더 큰 비중을 준다는 것입니다. 주사위 한 개의 눈의 수라면 $E(X)=(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}=3.5$가 되는데, 실제로 나올 수 없는 값 3.5가 답이 되는 이유가 바로 여기에 있습니다.

분산은 각 값이 기댓값에서 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해 평균 낸 값입니다. 정의대로 계산해도 되지만, 시험에서는 아래 간편식이 훨씬 빠릅니다.

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2, \qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$

$V(X)$는 분산, $\sigma(X)$는 표준편차입니다. $E(X^2)$은 각 값을 제곱한 것에 확률을 곱해 더한 값, 즉 $x_1^2p_1+x_2^2p_2+\cdots+x_n^2p_n$을 뜻합니다. 정리하면 분산은 "제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값"입니다. 순서를 뒤집어 계산하면 음수가 나오는데, 분산은 결코 음수가 될 수 없으므로 그 자리에서 계산 실수를 알아챌 수 있습니다. 표준편차는 분산에 루트를 씌운 값이며, 원래 변수와 단위가 같아 해석하기 편합니다.

기댓값과 분산에는 자주 출제되는 성질도 있습니다. 상수 $a,\,b$에 대해 $E(aX+b)=aE(X)+b$, $V(aX+b)=a^2V(X)$가 성립합니다. 기댓값은 더하기와 곱하기를 그대로 통과시키지만, 분산은 상수를 더해도 흩어진 정도가 변하지 않으므로 $b$가 사라지고 $a$는 제곱으로 나온다는 점이 포인트입니다. 이 두 식만 정확히 외워도 이산확률변수 단원의 계산 문제 상당수가 정리됩니다.

이산확률변수와 연속확률변수의 차이는 무엇일까?

가장 큰 차이는 "한 점의 확률"에서 드러납니다. 이산확률변수에서는 $P(X=3)$처럼 특정 값 하나에 대한 확률이 0이 아닌 실제 값을 가집니다. 그러나 연속확률변수에서는 한 점의 확률이 언제나 0이고, 확률은 항상 $P(2 \le X \le 3)$처럼 구간에 대해서만 의미를 가집니다. 키가 정확히 170.000…cm인 사람의 비율을 묻는 것이 무의미한 것과 같은 이치입니다.

계산 방식도 갈립니다. 이산확률변수는 확률질량함수의 값을 더해서 확률을 구하고, 연속확률변수는 확률밀도함수 그래프와 $x$축 사이의 넓이로 확률을 구합니다. 시그마로 더하느냐 넓이로 재느냐의 차이라고 보면 됩니다. 그래서 이산확률변수의 그래프는 막대 여러 개로, 연속확률변수의 그래프는 하나의 매끄러운 곡선으로 그려집니다.

그렇다고 둘이 완전히 남남인 것은 아닙니다. 이산확률변수인 이항분포는 시행 횟수가 충분히 커지면 연속확률변수인 정규분포에 가까워집니다. 고등학교 확률과 통계에서 이항분포의 정규근사를 배우는 이유가 바로 이 연결고리 때문입니다. 그래서 이산확률변수를 대충 넘기면 뒤에 나오는 정규분포와 통계적 추정까지 연쇄적으로 흔들립니다.

저는 처음 이 단원을 공부할 때 확률분포표를 만들지 않고 곧바로 기댓값 공식에 숫자를 넣는 습관이 있었습니다. 그러다 동전 문제에서 확률의 합이 1이 되지 않는데도 모르고 넘어가 답을 통째로 틀린 적이 있습니다. 그 뒤로는 아무리 쉬워 보여도 표를 먼저 그리고 확률의 합을 검산한 다음에야 기댓값과 분산으로 넘어갔는데, 계산 실수가 눈에 띄게 줄었습니다. 이산확률변수 문제에서 표를 그리는 30초는 절대 낭비가 아닙니다.

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참고 자료

위키백과 — 확률 질량 함수 나무위키 — 확률 변수 데이터 사이언스 스쿨 — 기댓값과 확률변수의 변환