조화평균 뜻과 공식, 평균 속력에 쓰는 이유와 예시

🧮 생활 속 수학

조화평균은 값들의 역수를 평균 낸 뒤 다시 뒤집은 평균으로, 같은 거리를 다른 속력으로 오갈 때처럼 분자가 고정된 비율을 평균할 때 쓴다. 공식과 계산 예시, 산술·기하평균과의 크기 비교를 정리했다.

조화평균은 값들의 역수를 산술평균한 뒤 그 결과를 다시 역수로 바꾼 평균이다. 갈 때 시속 60km, 올 때 시속 40km로 달렸다면 평균 속력은 50km가 아니라 48km인데, 이 48이 바로 두 속력의 조화평균이다. 이 글은 조화평균 공식과 쓰는 이유, 생활 속 계산 예시, 다른 평균과의 관계를 한 번에 정리한다.

조화평균이란? 뜻과 공식

양수 \(n\)개가 있을 때 조화평균은 다음처럼 정의한다. 각 값의 역수를 더해 개수로 나누면 '역수들의 산술평균'이 되고, 그것을 한 번 더 뒤집은 값이 조화평균이다.

$$H = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}$$

n개의 양수 x₁, …, xₙ의 조화평균

값이 두 개뿐이면 식이 훨씬 간단해진다. \(a\)와 \(b\)의 조화평균은 \(\frac{2ab}{a+b}\)이다. 이름의 '조화'는 음악에서 왔다. 현의 길이가 1, 1/2, 1/3처럼 역수 관계로 줄어들 때 어울리는 화음이 나는데, 그 역수들이 이루는 수열을 조화수열이라 부르고 거기서 조화평균이라는 이름이 붙었다.

조화평균 쓰는 이유: 평균 속력 계산

120km 떨어진 도시를 갈 때는 시속 60km, 돌아올 때는 시속 40km로 달렸다고 하자. 많은 사람이 두 속력을 더해 반으로 나눈 50km를 떠올리지만, 평균 속력은 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값이다. 갈 때 2시간, 올 때 3시간이 걸렸으니 240km를 5시간에 달린 셈이다.

$$\bar v = \frac{240}{\dfrac{120}{60} + \dfrac{120}{40}} = \frac{240}{5} = 48 = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40}$$

같은 거리를 오갈 때 평균 속력 = 두 속력의 조화평균

결과는 정확히 60과 40의 조화평균과 같다. 느린 구간에서 더 오래 머물기 때문에 평균이 느린 쪽으로 끌려가는 것이다. 핵심은 '무엇이 고정돼 있느냐'다. 속력은 거리÷시간인데 여기서는 거리(분자)가 같고 시간(분모)이 달라진다. 이렇게 비율의 분자가 고정된 상황에서 비율을 평균하려면 조화평균을 써야 한다. 반대로 갈 때와 올 때 '같은 시간'씩 달렸다면 분모가 고정된 경우라 산술평균 50이 맞다.

생활 속 조화평균 예시 3가지

첫째는 일의 속도다. 혼자 하면 3시간 걸리는 사람과 6시간 걸리는 사람이 함께 일하면 1시간에 \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)만큼 하므로 2시간이 걸린다. 두 사람의 '1인당 평균 소요 시간'을 묻는다면 답은 4.5시간이 아니라 조화평균인 4시간이다.

둘째는 같은 금액으로 여러 번 나눠 살 때의 평균 단가다. 매달 10만 원어치씩 사는데 가격이 1만 원, 2만 원이었다면 첫 달 10개, 둘째 달 5개를 사서 20만 원에 15개, 개당 약 13,333원이 된다. 이는 두 가격의 산술평균 15,000원이 아니라 조화평균이다. 이 계산은 단가 구조를 보여 줄 뿐 가격 변동의 위험이나 수익을 보장하는 방법이 아니며, 실제 판단은 조건과 상황에 따라 달라진다.

셋째는 인공지능 모델 평가에 쓰는 F1 점수다. 정밀도와 재현율이 각각 0.9와 0.5라면 산술평균은 0.7이지만, F1 점수는 둘의 조화평균인 약 0.64다. 조화평균은 작은 값에 크게 끌리는 성질이 있어 한쪽 지표만 좋은 모델에 높은 점수를 주지 않는다.

산술평균·기하평균·조화평균 크기 비교

양수에 대해 세 평균 사이에는 늘 같은 순서가 성립한다. 산술평균(AM)이 가장 크고, 기하평균(GM), 조화평균(HM) 순서이며, 모든 값이 같을 때만 세 값이 일치한다.

$$\frac{a+b}{2} \;\ge\; \sqrt{ab} \;\ge\; \frac{2ab}{a+b}, \qquad (\sqrt{ab})^2 = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{2ab}{a+b}$$

두 양수에 대한 AM ≥ GM ≥ HM과 GM² = AM × HM

앞의 60과 40으로 확인해 보면 산술평균 50, 기하평균 약 48.99, 조화평균 48이다. 오른쪽 식처럼 두 수의 경우 기하평균의 제곱은 산술평균과 조화평균의 곱과 같아서, \(50 \times 48 = 2400\)이 \(60 \times 40\)과 정확히 일치한다. 값들의 차이가 클수록 세 평균의 간격도 벌어지므로, 어떤 평균을 쓰느냐에 따라 결론이 크게 달라질 수 있다.

어떤 평균을 쓸까? 한 줄 규칙

• 비율의 분모(시간·개수)가 고정 → 산술평균
• 비율의 분자(거리·금액)가 고정 → 조화평균
• 성장률처럼 곱해서 누적되는 값 → 기하평균
• 판단이 어렵다면 '전체 분자 ÷ 전체 분모'로 직접 계산하면 항상 맞다

나는 중학생 때 평균 속력 문제를 산술평균으로 풀어 틀린 뒤로, 평균이 나오면 먼저 '무엇이 같은가'를 묻는 습관이 생겼다. 조화평균은 공식을 외우기보다 전체 거리와 전체 시간으로 다시 계산해 보는 편이 훨씬 오래 남는다. 결론은 한 줄이다. 같은 양을 서로 다른 비율로 처리했다면, 그 평균 비율은 조화평균이다.

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참고 자료

Wikipedia — Harmonic mean Wolfram MathWorld — Harmonic Mean Wikipedia — Pythagorean means Wikipedia — F-score