등비수열 뜻과 일반항, 합 공식 유도까지 정리

📐 개념 정리

등비수열은 첫째항에 일정한 수를 계속 곱해 만드는 수열로, 일반항은 첫째항 곱하기 공비의 거듭제곱이다. 등비수열 뜻과 일반항, 등비중항, 합 공식을 곱해서 빼는 한 줄로 유도하는 과정, 무한등비급수의 수렴 조건과 복리 계산 예시까지 정리했다.

등비수열은 앞의 항에 같은 수를 곱해 다음 항을 만드는 수열이다. 2, 6, 18, 54, 162처럼 매번 3을 곱하는 수열이 대표적이고, 이때 곱하는 수 3을 공비라고 부른다. 더하기로 늘어나는 등차수열이 직선처럼 자라는 것과 달리 등비수열은 곱하기로 늘어나기 때문에 처음에는 느려 보여도 금세 폭발적으로 커진다. 복리 이자, 세균의 분열, 방사성 물질의 감소, 종이를 반으로 접을 때의 두께가 모두 등비수열이다. 이 글은 등비수열 뜻과 일반항 공식, 등비중항, 합 공식을 유도하는 과정, 무한등비급수가 수렴하는 조건, 그리고 시험과 생활에서 등비수열이 쓰이는 방식을 순서대로 정리한다.

등비수열 뜻 — 일정한 비로 곱해 가는 수열

수열에서 이웃한 두 항의 비, 즉 뒤의 항을 앞의 항으로 나눈 값이 항상 같으면 그 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 비를 공비라 한다. 첫째항이 정해지고 공비가 정해지면 수열 전체가 결정된다. 공비가 1보다 크면 항이 계속 커지고, 0과 1 사이면 점점 작아지며 0에 가까워진다. 공비가 음수이면 항의 부호가 번갈아 바뀐다. 첫째항 1에 공비 −2를 곱해 가면 1, −2, 4, −8, 16처럼 크기는 커지면서 부호는 교대로 나타난다. 공비가 1이면 모든 항이 같은 상수 수열이 되는데, 이 경우는 합 공식에서 따로 다뤄야 하므로 기억해 둘 필요가 있다.

등차수열과 등비수열은 서로 짝을 이룬다. 등차수열은 일정한 수를 더하고 등비수열은 일정한 수를 곱하는데, 곱셈은 로그를 취하면 덧셈이 되므로 양수로 이루어진 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다. 2, 6, 18, 54에 밑이 3인 로그를 취한 값의 차는 항상 1이다. 이 관계는 등비수열 문제를 등차수열 문제로 바꾸어 푸는 데 자주 쓰이고, 소리의 크기를 나타내는 데시벨이나 지진 규모처럼 곱으로 커지는 양을 더하기 눈금으로 바꾸는 원리이기도 하다.

등비수열 일반항 공식과 등비중항

첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하면 둘째항은 $ar$, 셋째항은 $ar^2$, 넷째항은 $ar^3$이다. 항 번호보다 하나 적은 횟수만큼 공비를 곱하므로 $n$번째 항은 다음과 같다.

$$a_n = a\,r^{\,n-1}$$

$a_n$은 $n$번째 항, $a$는 첫째항, $r$은 공비다. 첫째항 3, 공비 2인 등비수열의 6번째 항은 $3 \times 2^5 = 96$이다. 두 항이 주어졌을 때 공비를 찾는 것도 이 식으로 한다. 셋째항이 12이고 여섯째항이 96이면 $a_6 / a_3 = r^3 = 8$이므로 $r = 2$이고, $a = 12 / r^2 = 3$이 된다. 항 번호의 차이만큼 공비가 거듭제곱으로 곱해진다는 사실, 즉 $a_m = a_n \cdot r^{\,m-n}$이 등비수열 문제의 핵심 도구다.

세 수 $a, b, c$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때 가운데 항 $b$를 등비중항이라 한다. 공비가 같으므로 $b/a = c/b$이고, 정리하면 $b^2 = ac$다. 등차중항이 양 끝 항의 산술평균 $(a+c)/2$인 것과 나란히, 등비중항은 양 끝 항의 기하평균 $\pm\sqrt{ac}$다. 등비중항이 존재하려면 $ac$가 양수여야 하며, 부호가 같은 두 수 사이에는 등비중항이 두 개(양수와 음수) 있다. 4와 9 사이의 등비중항은 6과 −6이다.

등비수열의 합 공식 유도 — 곱해서 빼는 한 줄

첫째항부터 $n$번째 항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 이 합에 공비 $r$을 곱하면 각 항이 한 칸씩 뒤로 밀린 합이 되고, 원래 합에서 이것을 빼면 가운데 항들이 모두 지워진다.

$$\begin{aligned} S_n &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a +\;} ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \\ (1-r)S_n &= a - ar^n \end{aligned}$$

첫 줄에서 둘째 줄을 빼면 $ar$부터 $ar^{n-1}$까지가 소거되어 셋째 줄만 남는다. $r \ne 1$이면 양변을 $1-r$로 나눌 수 있으므로 등비수열의 합 공식이 나온다. $r = 1$이면 모든 항이 $a$라 합은 $na$다.

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \quad (r \ne 1), \qquad S_n = na \quad (r = 1)$$

두 형태는 분자와 분모에 −1을 곱한 같은 식으로, 공비가 1보다 크면 오른쪽 형태가, 1보다 작으면 왼쪽 형태가 계산하기 편하다. 첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 첫 10항의 합은 $2(3^{10}-1)/(3-1) = 3^{10} - 1 = 59{,}048$이다. 공식을 외우는 것보다 "곱해서 빼면 가운데가 사라진다"는 유도 과정을 기억하는 편이 낫다. 시험에서 첫째항과 공비가 문자로 주어지거나, 합의 비 $S_{2n}/S_n$을 묻는 문제가 나와도 같은 한 줄에서 출발하면 되기 때문이다. 실제로 $S_{2n}/S_n = (1-r^{2n})/(1-r^n) = 1 + r^n$이라는 관계도 이 유도에서 바로 얻어진다.

무한등비급수와 수렴 조건

항을 무한히 더하는 무한등비급수는 합 공식에서 $n$을 한없이 키운 극한이다. 공비의 절댓값이 1보다 작으면 $r^n$이 0으로 가므로 합이 유한한 값에 수렴한다.

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r} \quad (|r| < 1)$$

$|r| \ge 1$이면 $r^n$이 0으로 가지 않아 급수는 발산한다. 공비가 1보다 크면 한없이 커지고, −1이면 항이 $a, -a, a, -a$로 진동해 합이 한 값에 머물지 않는다. 그래서 등비수열 수렴 조건은 "$-1 < r \le 1$"이고 무한등비급수 수렴 조건은 "$-1 < r < 1$"로 한 끝이 다르다. 수열 자체는 $r=1$일 때 상수로 수렴하지만, 상수를 무한히 더한 급수는 발산하기 때문이다. 이 미묘한 차이는 시험에서 반복해서 묻는 지점이다.

무한등비급수는 순환소수를 분수로 바꾸는 원리이기도 하다. 0.999…는 첫째항 0.9, 공비 0.1인 무한등비급수이므로 합은 $0.9/(1-0.1) = 1$이다. 0.999…가 1과 같다는 사실은 근사가 아니라 이 급수의 정확한 값이다. 마찬가지로 $1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots$는 첫째항 1/2, 공비 1/2이므로 합이 1이고, 남은 거리의 절반씩을 무한히 가면 결국 목표에 닿는다는 제논의 역설이 수학적으로 해소되는 지점이다.

생활과 시험 속 등비수열 — 복리, 종이 접기, 수능 유형

복리는 등비수열 그 자체다. 100만 원을 연 5% 복리로 맡기면 매년 1.05를 곱하므로 $n$년 뒤 원리합계는 $100 \times 1.05^n$만 원이고, 10년 뒤에는 약 162.9만 원이다. 매년 초에 100만 원씩 10년 동안 적립하면 각 납입금이 서로 다른 기간 동안 불어나므로 첫째항 $100 \times 1.05$, 공비 1.05인 등비수열의 합이 되어 $100 \times 1.05 \times (1.05^{10} - 1)/0.05 \approx 1{,}320.7$만 원이 된다. 대출의 원리금균등상환 월 상환액 공식도 이 등비수열의 합에서 나온다. 두께 0.1mm인 종이를 42번 접으면 두께가 $0.1 \times 2^{42}$mm, 약 44만 km로 지구와 달 사이 거리를 넘는다는 유명한 계산도 공비 2인 등비수열이다.

수능과 내신에서는 몇 가지 유형이 반복된다. 두 항의 곱이나 비가 주어지고 특정 항을 구하는 문제는 $a_m = a_n r^{m-n}$으로, 모든 항이 양수인 등비수열에서 로그가 등장하면 등차수열로 바꾸어, 합의 조건이 주어지면 $S_n$ 공식을 세운 뒤 $r^n$을 하나의 미지수처럼 취급해 푼다. 예를 들어 $S_3 = 7$, $S_6 = 63$이면 $S_6/S_3 = 1 + r^3 = 9$에서 $r = 2$, $a = 1$이 곧바로 나온다. 등비수열과 등차수열이 섞인 문제에서는 등비중항 $b^2 = ac$와 등차중항 $2b = a + c$를 연립하는 것이 정석이다.

나는 고등학교 때 등비수열의 합 공식을 두 형태로 따로 외우다가 부호를 자주 틀렸는데, 어느 날 곱해서 빼는 유도를 직접 써 보고 나서야 두 식이 같은 식이라는 것을 이해했다. 그 뒤로는 공식이 기억나지 않을 때마다 $S_n$과 $rS_n$을 두 줄로 적고 빼는 데 10초면 충분했다. 외운 공식은 잊히지만 유도는 손이 기억한다.

정리하면 등비수열은 첫째항 $a$에 공비 $r$을 거듭 곱하는 수열로 일반항은 $a_n = ar^{n-1}$, 합은 $S_n = a(1-r^n)/(1-r)$이며, $|r| < 1$일 때 무한등비급수는 $a/(1-r)$로 수렴한다. 등비중항 $b^2 = ac$, 로그를 취하면 등차수열이 된다는 성질, 곱해서 빼는 유도 한 줄이 등비수열의 뼈대다.

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참고 자료

Wikipedia — Geometric progression Wikipedia — Geometric series Wolfram MathWorld — Geometric Series Wikipedia — 0.999...