사인법칙 공식과 증명 — 외접원·넓이, 코사인법칙 차이

📐 개념 정리

사인법칙은 삼각형의 각 변의 길이를 마주 보는 각의 사인값으로 나눈 비가 모두 같고, 그 값이 외접원의 지름이라는 정리다. 사인법칙 공식과 외접원 증명, 넓이 공식, 두 삼각형이 나오는 예제와 코사인법칙 차이까지 정리했다.

사인법칙은 삼각형에서 각 변의 길이를 그 변과 마주 보는 각의 사인값으로 나누면 세 값이 모두 같고, 그 공통값이 삼각형 외접원의 지름과 같다는 정리다. 두 각과 한 변만 알면 나머지 변을 모두 구할 수 있어 측량과 삼각형 문제의 기본 도구로 쓰인다. 이 글은 사인법칙 공식과 외접원을 이용한 증명, 높이를 이용한 두 번째 증명, 삼각형 넓이 공식으로의 연결, 해가 두 개 나오는 예제, 그리고 코사인법칙과의 차이까지 유도 중심으로 정리한다.

사인법칙이란? 뜻과 언제 쓰는가

삼각형에는 세 변과 세 각, 모두 여섯 개의 양이 있다. 이 가운데 세 개를 알면 나머지를 결정할 수 있는 경우가 많은데, 어떤 세 개를 아느냐에 따라 쓰는 도구가 달라진다. 사인법칙은 각과 그 맞은편 변을 한 쌍으로 묶어 비교하는 정리라서, 두 각과 한 변을 알 때 가장 강력하다. 두 변과 그중 한 변의 맞은편 각을 알 때도 쓸 수 있지만, 이때는 삼각형이 두 개 나올 수 있어 주의가 필요하다. 반대로 세 변을 모두 알거나 두 변과 그 사이에 낀 각을 알 때는 코사인법칙이 맞는 도구다.

평면 삼각형의 사인법칙은 중세 이슬람 수학에서 체계적으로 정리됐고, 13세기 페르시아의 수학자 나시르 알딘 알투시가 평면과 구면 삼각법을 묶어 정리한 저작이 잘 알려져 있다. 천문 관측으로 별 사이의 거리를 계산하던 필요가 이 정리를 키웠다. 고등학교 수학에서는 삼각함수 단원의 마지막에 코사인법칙과 함께 배우며, 수능에서도 외접원과 넓이를 엮은 문제로 자주 등장한다.

사인법칙 공식과 기호의 뜻

삼각형 ABC에서 꼭짓점 A, B, C의 각을 각각 \(A, B, C\), 그 맞은편 변의 길이를 \(a, b, c\), 외접원의 반지름을 \(R\)이라고 하자. 사인법칙은 다음 한 줄로 쓴다.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

사인법칙 — 변과 맞은편 각 사인의 비는 외접원의 지름과 같다

분수의 분자와 분모는 항상 서로 마주 보는 변과 각이다. 이 식을 풀어 쓰면 쓰임새가 다른 세 가지 변형이 나온다. 변을 구할 때는 \(a = 2R\sin A\), 각을 구할 때는 \(\sin A = \frac{a}{2R}\), 세 변의 비를 볼 때는 다음 식을 쓴다.

$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$$

세 변의 길이의 비는 마주 보는 각의 사인값의 비와 같다

마지막 식은 큰 각의 맞은편에 긴 변이 온다는 사실을 수식으로 확인해 준다. 다만 각의 비가 아니라 사인값의 비라는 점에 주의해야 한다. 각이 두 배라고 변도 두 배가 되지는 않는다.

사인법칙 증명, 외접원과 원주각으로 보이기

가장 널리 쓰이는 사인법칙 증명은 외접원의 원주각 성질을 이용한다. 외접원의 중심을 O라 하고, 점 B에서 중심을 지나는 지름 BA′을 긋는다. 각 A의 크기에 따라 세 경우로 나눈다.

각 A가 예각이면 A와 A′은 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 \(\angle A = \angle A^{\prime}\)이다. 또 BA′은 지름이므로 반원에 대한 원주각인 \(\angle BCA^{\prime}\)는 직각이다. 직각삼각형 A′BC에서 빗변은 \(2R\), 각 A′의 맞은편 변은 \(a\)이므로 다음이 성립한다.

$$\sin A = \sin A^{\prime} = \frac{BC}{BA^{\prime}} = \frac{a}{2R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{\sin A} = 2R$$

예각인 경우 — 원주각이 같고 반원 위의 각은 직각

각 A가 둔각이면 A′은 호 BC의 반대편에 놓이고, 원에 내접하는 사각형 ABA′C의 마주 보는 각의 합이 180°이므로 \(\angle A^{\prime} = 180^\circ - A\)가 된다. 그런데 \(\sin(180^\circ - A) = \sin A\)이므로 같은 결론이 나온다. 각 A가 직각이면 BC 자체가 지름이라 \(a = 2R\)이고 \(\sin 90^\circ = 1\)이므로 역시 성립한다. 다른 두 각에 대해서도 같은 작도를 하면 \(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)을 얻는다.

외접원 없이 높이만으로 증명할 수도 있다. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선을 내려 높이를 \(h\)라 하면, 두 직각삼각형에서 각각 \(h = c\sin B\), \(h = b\sin C\)이다. 두 식을 같다고 놓으면 사인법칙의 일부가 바로 나온다.

$$c\sin B = b\sin C \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

높이를 두 가지로 표현해 얻는 사인법칙

사인법칙과 삼각형 넓이 공식, 외접원 반지름으로 잇기

높이 증명은 넓이 공식과 곧바로 이어진다. 밑변이 \(a\)이고 높이가 \(b\sin C\)이므로 넓이는 \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)이다. 여기에 사인법칙의 \(\sin C = \frac{c}{2R}\)를 대입하면 세 변과 외접원 반지름만으로 넓이를 쓸 수 있고, 반대로 변을 \(2R\sin A\) 꼴로 바꾸면 각과 반지름만으로도 쓸 수 있다.

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = 2R^{2}\sin A \sin B \sin C$$

사인법칙으로 연결한 삼각형 넓이 공식 세 가지

여기서 \(S\)는 삼각형의 넓이다. 세 변을 알 때 외접원 반지름은 \(R = \frac{abc}{4S}\)로 구할 수 있어, 수능에서는 넓이를 먼저 구한 뒤 이 식으로 외접원을 역산하는 문제가 자주 나온다.

사인법칙 예제와 코사인법칙 차이

예제 1. \(A = 45^\circ\), \(B = 60^\circ\), \(a = 10\)인 삼각형에서 \(b\)와 \(R\)을 구해 보자. 사인법칙에서 \(b = \frac{a\sin B}{\sin A}\)이므로 다음과 같다.

$$b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6} \approx 12.25, \qquad R = \frac{a}{2\sin A} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$$

두 각과 한 변을 알 때 나머지 변과 외접원 반지름

예제 2. \(A = 30^\circ\), \(a = 6\), \(b = 10\)이면 \(\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{5}{6}\)이다. 사인값이 \(\frac{5}{6}\)인 각은 약 56.4°와 그 보각인 약 123.6° 두 개이고, 어느 쪽도 \(A + B \lt 180^\circ\)를 만족하므로 조건에 맞는 삼각형이 두 개 존재한다. 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어진 이런 상황을 모호한 경우라고 부른다.

두 변과 한 각(끼인각 아님)이 주어질 때 해의 개수

• \(a \lt b\sin A\): 사인값이 1을 넘으므로 삼각형이 없다.
• \(a = b\sin A\): B가 직각인 삼각형 하나만 있다.
• \(b\sin A \lt a \lt b\): B가 예각인 것과 둔각인 것, 삼각형이 두 개 있다.
• \(a \ge b\): 삼각형이 하나만 있다(A가 예각일 때).

코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)는 세 변 또는 두 변과 끼인각이 주어질 때 쓰고, 코사인은 0°에서 180° 사이에서 값 하나에 각이 하나만 대응하므로 모호한 경우가 생기지 않는다. 그래서 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어진 문제는 코사인법칙으로 남은 변을 이차방정식으로 구해 해의 개수를 확인하는 방법도 쓴다.

나는 사인법칙을 처음 배울 때 공식만 외우고 증명은 건너뛰었는데, 둔각삼각형 문제에서 \(2R\)이 왜 그대로 성립하는지 설명하지 못해 막혔던 적이 있다. 원주각 그림을 직접 세 경우로 그려 보고 나서야 \(\sin(180^\circ - A) = \sin A\) 한 줄이 둔각 경우를 모두 해결해 준다는 것을 이해했고, 그 뒤로는 외접원 문제를 보면 지름부터 긋는 습관이 생겼다.

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참고 자료

Wikipedia — Law of sines 위키백과 — 사인 법칙 Wolfram MathWorld — Law of Sines Wikipedia — Nasir al-Din al-Tusi