삼각함수 공식 총정리 — 덧셈정리부터 합성까지

📐 개념 정리

삼각함수 공식은 외울 것이 아니라 단위원과 덧셈정리 하나에서 전부 유도됩니다. 기본 관계식, 덧셈정리, 배각·반각, 곱을 합으로 바꾸는 공식, 합성 공식까지 어느 것이 어디서 나오는지 흐름으로 정리하고 자주 틀리는 부호까지 짚었습니다.

삼각함수 공식은 크게 다섯 묶음입니다. 단위원에서 바로 나오는 기본 관계식, 모든 것의 출발점인 덧셈정리, 덧셈정리에서 각을 같게 놓아 얻는 배각·반각 공식, 덧셈정리 두 개를 더하고 빼서 얻는 곱과 합의 변환 공식, 그리고 $a\sin x + b\cos x$를 하나의 사인으로 묶는 합성 공식입니다. 이 글은 삼각함수 공식을 이 순서로 정리하고, 각 공식이 앞 공식에서 어떻게 나오는지 보여줍니다.

삼각함수 공식의 출발점 — 기본 관계식

반지름 1인 단위원 위의 점을 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 두면, 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$이 곧 첫 번째 삼각함수 공식이 됩니다. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$입니다. 여기에 $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$를 정의하고, 첫 식의 양변을 $\cos^2\theta$로 나누면 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$가 나옵니다. 삼각함수 공식 중 이 세 개는 단위원만 그리면 언제든 다시 만들 수 있습니다.

각을 바꾸는 공식도 단위원에서 읽습니다. $\theta$를 $-\theta$로 바꾸면 점이 $x$축 대칭이 되므로 $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$입니다. $\pi - \theta$는 $y$축 대칭이라 $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이고, $\pi/2 - \theta$는 직선 $y=x$ 대칭이라 사인과 코사인이 서로 바뀝니다. 삼각함수 공식을 외우다 부호가 헷갈리면 이 세 대칭 중 어느 것인지 그림으로 확인하는 편이 빠릅니다.

삼각함수 덧셈정리 — 모든 공식의 뿌리

삼각함수 공식 중 진짜로 외워야 할 것은 덧셈정리 두 줄입니다. 나머지는 여기서 나옵니다.

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

사인은 부호가 그대로, 코사인은 부호가 뒤집힌다 — 코사인 덧셈에서 마이너스가 나오는 것이 가장 자주 틀리는 지점

증명은 단위원 위의 두 점 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $(\cos\beta, \sin\beta)$ 사이 거리를 두 가지 방법으로 계산해 비교하면 됩니다. 좌표로 계산한 거리의 제곱과, 두 점 사이 각 $\alpha - \beta$를 써서 코사인법칙으로 계산한 거리의 제곱이 같아야 하므로 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$가 나오고, 여기서 $\beta$를 $-\beta$로, 또 $\alpha$를 $\pi/2 - \alpha$로 바꾸면 나머지 세 식이 차례로 나옵니다. 탄젠트 덧셈정리 $\tan(\alpha \pm \beta) = (\tan\alpha \pm \tan\beta)/(1 \mp \tan\alpha\tan\beta)$는 사인을 코사인으로 나눈 뒤 분모·분자를 $\cos\alpha\cos\beta$로 나누면 됩니다.

배각 공식과 반각 공식 — 덧셈정리에서 각을 같게

덧셈정리에서 $\beta = \alpha$로 놓으면 배각 공식이 됩니다. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$입니다. 코사인 배각은 $\sin^2 + \cos^2 = 1$을 써서 $2\cos^2\alpha - 1$ 또는 $1 - 2\sin^2\alpha$로도 쓸 수 있고, 미적분 문제에서는 이 두 형태가 훨씬 자주 쓰입니다. 삼각함수 공식 표에 코사인 배각이 세 줄로 나오는 이유가 이것입니다.

반각 공식은 코사인 배각을 거꾸로 푼 것입니다. $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$에서 $\cos^2\alpha = (1 + \cos 2\alpha)/2$, $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$에서 $\sin^2\alpha = (1 - \cos 2\alpha)/2$입니다. 여기서 $\alpha$ 자리에 $\theta/2$를 넣으면 흔히 보는 반각 공식 형태가 됩니다. 제곱을 1차식으로 낮춰주기 때문에 $\sin^2 x$나 $\cos^2 x$를 적분할 때 반드시 쓰는 삼각함수 공식입니다.

$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}, \qquad \tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$

반각 공식 — 제곱을 없애 차수를 낮추는 도구. 부호는 각이 놓인 사분면으로 결정한다

곱을 합으로, 합을 곱으로 — 변환 공식

덧셈정리의 플러스 식과 마이너스 식을 더하거나 빼면 곱을 합으로 바꾸는 삼각함수 공식이 나옵니다. $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$이므로 $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$입니다. 같은 방법으로 $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}$, $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}$가 나옵니다. 마지막 식 앞의 마이너스가 자주 빠지는 부분입니다.

합을 곱으로 바꾸는 공식은 위 식에서 $\alpha + \beta = A$, $\alpha - \beta = B$로 치환한 것입니다. $\alpha = (A+B)/2$, $\beta = (A-B)/2$가 되므로 $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$, $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$, $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$입니다. 이 삼각함수 공식들은 방정식 $\sin 3x = \sin x$처럼 서로 다른 각이 섞인 식을 인수분해할 때 쓰입니다.

삼각함수 합성 공식 — 최댓값·최솟값 문제의 핵심

$a\sin x + b\cos x$ 꼴은 사인 하나로 합칠 수 있습니다. $\sqrt{a^2+b^2}$로 묶으면 계수가 $a/\sqrt{a^2+b^2}$, $b/\sqrt{a^2+b^2}$가 되는데, 이 두 수는 제곱합이 1이므로 어떤 각 $\phi$의 코사인과 사인으로 둘 수 있습니다. 그러면 덧셈정리에 의해 다음이 됩니다.

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\phi), \qquad \cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

합성 공식 — 최댓값은 √(a²+b²), 최솟값은 −√(a²+b²)로 바로 읽힌다

예를 들어 $\sin x + \sqrt{3}\cos x$는 $\sqrt{1+3} = 2$로 묶여 $2\sin(x + \pi/3)$이 되고, 최댓값 2, 최솟값 −2입니다. 삼각함수 공식 가운데 합성은 물리에서 두 파동의 중첩, 교류 회로의 전압 합성 같은 곳에도 그대로 쓰입니다.

삼각함수 공식 정리 — 외울 것과 유도할 것

외울 것은 $\sin^2 + \cos^2 = 1$과 덧셈정리 두 줄, 이렇게 세 개입니다. 배각은 덧셈정리에서 각을 같게, 반각은 코사인 배각을 거꾸로, 곱과 합의 변환은 덧셈정리 두 식을 더하고 빼서, 합성은 덧셈정리를 거꾸로 읽어서 나옵니다. 삼각함수 공식 표를 보면 스무 줄이 넘지만, 실제 뿌리는 이 세 개뿐입니다.

저는 고등학교 때 삼각함수 공식을 스무 개 넘게 외우려다 시험 직전에 부호를 다 섞어버린 적이 있습니다. 대학에서 다시 배울 때 조교가 "덧셈정리만 기억하고 나머지는 그 자리에서 만들어라"라고 했는데, 그 뒤로는 한 번도 부호를 틀린 적이 없습니다. 유도에 걸리는 시간은 10초 남짓이고, 잘못 외운 공식을 쓰는 것보다 훨씬 안전합니다. 삼각함수 공식을 공부하는 분들께 같은 방법을 권합니다.

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참고 자료

Wikipedia — List of trigonometric identities Khan Academy — Trigonometry