함수의 극한 정의와 성질, 극한값 구하는 법

📐 개념 정리

x가 a에 가까워질 때 함수값이 다가가는 극한값의 의미부터 좌극한 우극한, 극한의 사칙연산 성질, 0/0 꼴 계산법, 연속과의 관계까지 수학2 극한 단원을 한 번에 정리합니다.

함수의 극한은 x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지는 것을 말하며, 이때 L을 극한값이라고 합니다. 기호로는 $\lim_{x \to a} f(x) = L$로 씁니다. 이 글에서는 함수의 극한 정의부터 좌극한과 우극한, 극한의 성질, 0/0 꼴 계산, 연속까지 차례로 정리합니다.

함수의 극한 정의 — 기호가 말하는 정확한 의미는?

함수의 극한 정의를 교과서 표현으로 옮기면, x가 a가 아닌 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 f(x)는 L에 수렴한다고 하고, 이 L을 극한값 또는 극한이라고 합니다. 기호로는 다음과 같이 씁니다.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

lim은 극한을 뜻하는 limit의 약자입니다. 정의에서 가장 중요한 부분은 "x가 a가 아닌 값을 가지면서"라는 조건입니다. 함수의 극한은 x가 a에 다가가는 과정에서 함수값이 어디로 향하는지를 보는 개념이지 f(a)를 묻는 개념이 아니므로, f(a)가 정의되지 않아도 극한값은 존재할 수 있고, f(a)가 있어도 극한값과 다를 수 있습니다.

예를 들어 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$는 x = 2에서 분모가 0이 되어 f(2)가 정의되지 않지만, x가 2에 가까워질 때 함수값은 4에 가까워지므로 극한값은 4입니다. 함수값과 극한값이 별개라는 것이 함수의 극한 단원 전체를 관통하는 핵심입니다.

좌극한과 우극한 — 극한값이 존재할 조건은?

x가 a에 가까워지는 방향은 두 가지입니다. a보다 작은 쪽에서 다가가면 좌극한, a보다 큰 쪽에서 다가가면 우극한이라고 하고, 각각 $\lim_{x \to a^-} f(x)$, $\lim_{x \to a^+} f(x)$로 씁니다. 함수의 극한값이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같다는 뜻입니다.

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to a} f(x) = L$$

좌극한과 우극한이 다르면 극한값은 존재하지 않습니다. 대표적인 예가 $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$입니다. 0보다 큰 쪽에서 다가가면 함수값이 계속 1이므로 우극한은 1, 작은 쪽에서는 계속 -1이므로 좌극한은 -1입니다. 두 값이 다르므로 x가 0으로 갈 때 이 함수는 수렴하지 않습니다. 절댓값·가우스 기호, 구간별로 정의된 함수에서 좌극한과 우극한을 나누어 확인하는 문제가 자주 출제되므로, 그래프의 점프 지점마다 세 값을 따로 읽는 습관이 필요합니다.

함수의 극한의 성질 — 사칙연산은 어떻게 적용될까?

두 함수가 각각 수렴할 때, 함수의 극한은 사칙연산과 자연스럽게 어울립니다. $\lim_{x \to a} f(x) = L$, $\lim_{x \to a} g(x) = M$이라고 할 때 성립하는 극한의 성질을 정리하면 다음과 같습니다.

함수의 극한의 성질 (두 극한이 모두 수렴할 때)

• 상수배: $\lim_{x \to a} c f(x) = cL$ (c는 상수)
• 합과 차: $\lim_{x \to a} \{ f(x) \pm g(x) \} = L \pm M$
• 곱: $\lim_{x \to a} f(x) g(x) = LM$
• 몫: $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (단, M은 0이 아님)

주의할 점은 이 성질이 두 극한이 모두 수렴할 때만 보장된다는 것입니다. 발산하는 함수끼리의 연산은 이 규칙으로 판단할 수 없습니다. 반대로 이 성질 덕분에 다항함수의 극한값은 대입으로 바로 구할 수 있어서 $\lim_{x \to 1}(x^2 + 3x) = 4$처럼 계산이 끝납니다. 극한의 성질은 미분계수 계산과 도함수 유도에서도 계속 쓰이므로 조건까지 정확히 기억해 두는 것이 좋습니다.

0/0 꼴 극한값 구하는 법 — 인수분해와 유리화

시험에 가장 자주 나오는 유형은 분모와 분자가 모두 0으로 가는 0/0 꼴입니다. 몫의 극한 성질은 분모의 극한이 0이 아닐 때만 쓸 수 있으므로, 0/0 꼴은 식을 변형해 0이 되는 원인을 없앤 뒤 극한을 계산합니다. 분모와 분자가 다항식이면 인수분해로 공통인수를 약분합니다.

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

x가 2로 가는 동안 x는 2가 아니므로 x - 2로 약분할 수 있습니다. 정의의 "a가 아닌 값" 조건이 계산에서 힘을 발휘하는 장면입니다. 근호가 있으면 유리화를 씁니다.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{2}$$

분모와 분자에 $\sqrt{x + 1} + 1$을 곱하면 분자가 x로 정리되며 약분되는 구조입니다. 분모와 분자를 각각 미분해 극한값을 구하는 로피탈 정리도 있지만, 고등학교 교육과정 밖이므로 검산 용도로만 쓰는 것을 권합니다.

극한의 대소 관계와 연속 — 함수의 극한과 연속은 어떻게 이어질까?

함수의 극한에는 대소 관계도 보존됩니다. a 근처에서 항상 $f(x) \le g(x)$이고 두 함수가 모두 수렴하면 $L \le M$이 성립합니다. 특히 $f(x) \le h(x) \le g(x)$이고 양쪽 극한값이 같으면 가운데 함수도 같은 값으로 수렴합니다. 샌드위치 정리라고 부르는 이 성질은 직접 구하기 어려운 극한값을 조일 때, 특히 삼각함수 극한에서 자주 쓰입니다.

함수의 극한과 연속의 관계도 정의에서 바로 나옵니다. 함수가 x = a에서 연속이라는 것은 f(a)가 정의되어 있고, 극한값이 존재하며, 두 값이 같다는 세 조건을 모두 만족한다는 뜻입니다. 셋 중 하나라도 깨지면 그 점에서 불연속입니다. 결국 연속 판정은 함수의 극한을 정확히 계산하는 문제로 되돌아오고, 미분계수 역시 평균변화율의 극한으로 정의되므로 극한은 미적분 전체의 출발점이 되는 개념입니다.

저도 처음 함수의 극한을 공부할 때는 극한값과 함수값을 같은 것으로 생각해서, 그래프 문제에서 뚫린 점과 채워진 점이 따로 있으면 매번 헷갈렸습니다. "극한은 다가가는 과정, 함수값은 그 점에서의 결과"라고 기준을 세우고 좌극한, 우극한, 함수값을 세 개의 값으로 나누어 읽기 시작한 뒤로는 실수가 눈에 띄게 줄었습니다. 극한이 어렵게 느껴진다면 계산 연습보다 이 구분부터 확실히 하는 것을 권합니다.

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참고 자료

Wolfram MathWorld — Limit 칸아카데미 — 극한과 연속