9월 모평 수학 표준점수 최고점 137점 — z점수 뜻과 계산 총정리

📐 수학 이야기

z점수는 점수가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는지 나타내는 값으로, 수능 표준점수는 z점수를 바꾼 것이다. 9월 모평 채점결과 수학 최고점 137점과 1등급컷 128점을 z점수로 풀어 난이도와 분포를 읽는 법을 정리했다.

한국교육과정평가원이 9월 28일 2027학년도 수능 9월 모의평가 채점결과를 발표했고, 수험생들은 29일 성적표를 받았다. 수학 표준점수 최고점은 137점으로 지난해 9월 140점보다 3점 낮았고, 최고점을 받은 수험생은 2,741명이었다. 1등급 구분 점수는 128점이다. 이 숫자들은 모두 z점수라는 하나의 통계량에서 나온다. z점수의 뜻을 알면 최고점과 등급컷만 보고도 시험이 얼마나 쉬웠는지, 점수가 어떻게 퍼져 있었는지를 거꾸로 읽어 낼 수 있다.

9월 모평 채점결과, 수학은 숫자로 어땠나?

이번 모의평가 응시자는 39만 6,118명으로 지난해 9월보다 3.2퍼센트 줄었고, 졸업생 비중은 24.7퍼센트로 높아졌다. 영역별로는 난이도가 엇갈렸다. 국어 표준점수 최고점은 144점, 최고점자는 75명에 그쳤다. 수학은 최고점 137점에 최고점자 2,741명으로 국어의 36배가 넘었다. 절대평가인 영어는 1등급 비율이 15.54퍼센트로 지난해 9월 4.50퍼센트보다 크게 늘었다. 한 줄로 요약하면 국어는 어렵고 수학과 영어는 쉬웠다.

수학 선택과목 비율은 확률과 통계 64.4퍼센트, 미적분 33.1퍼센트, 기하 2.5퍼센트였다. 미적분 응시 인원은 줄었지만 비율은 6월보다 1퍼센트포인트 올랐다. 그런데 "최고점이 낮다"는 말이 왜 "시험이 쉬웠다"는 뜻이 될까? 여기서 z점수가 등장한다.

z점수 뜻, 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌나

z점수는 어떤 점수가 집단 평균보다 표준편차 몇 개만큼 높거나 낮은지를 나타낸다. 점수를 \(x\), 평균을 \(\mu\), 표준편차를 \(\sigma\)라고 하면 정의는 다음과 같다.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

z점수의 정의

분자는 평균과의 거리이고, 분모로 나누면 단위가 사라진다. 그래서 z점수는 과목이나 시험이 달라도 같은 잣대로 비교할 수 있다. 모든 점수를 z점수로 바꾸면 평균은 0, 표준편차는 1이 된다. 평균에서 \(x\)를 빼면 평균이 0으로 옮겨지고, \(\sigma\)로 나누면 퍼진 정도가 1로 맞춰지기 때문이다. 수학적으로는 선형 변환 \(x \mapsto ax+b\)가 평균을 \(a\mu+b\)로, 표준편차를 \(|a|\sigma\)로 바꾼다는 성질에 \(a=\frac{1}{\sigma}\), \(b=-\frac{\mu}{\sigma}\)를 넣은 결과다.

예를 들어 평균 60점, 표준편차 15점인 시험에서 90점을 받으면 z점수는 2이고, 평균 70점, 표준편차 10점인 시험의 90점도 z점수는 2다. 원점수는 같아도 앞의 시험에서 더 뛰어난 성적처럼 보일 수 있지만, 집단 안에서의 상대 위치는 똑같다는 뜻이다. 고등학교 성적표에 원점수와 함께 과목 평균과 표준편차가 찍히는 이유도 이 계산을 할 수 있게 하려는 것이다.

수능 표준점수는 z점수를 어떻게 바꾼 것인가?

z점수는 음수와 소수가 섞여 성적표에 쓰기 불편하다. 그래서 수능은 z점수에 다시 선형 변환을 걸어 평균 100, 표준편차 20인 점수로 만든다. 국어와 수학의 표준점수 공식은 다음과 같다. 탐구 영역은 평균 50, 표준편차 10을 쓴다.

$$T = 20z + 100 = 20\cdot\frac{x-\mu}{\sigma} + 100$$

국어·수학 표준점수

이 식을 뒤집으면 발표된 표준점수에서 z점수를 복원할 수 있다. 수학 최고점 137점과 1등급컷 128점을 넣어 보자.

$$z_{\max} = \frac{137-100}{20} = 1.85, \qquad z_{1} = \frac{128-100}{20} = 1.40$$

최고점과 1등급컷의 z점수

만점이 평균보다 표준편차 1.85개만큼 위에 있었다는 뜻이다. 같은 방식으로 국어 최고점 144점의 z점수는 2.2다. 시험이 쉬우면 평균이 만점 쪽으로 다가와 만점과 평균의 거리가 좁아지므로 최고점의 z점수가 작아지고, 표준점수 최고점도 낮아진다. 수학 최고점이 지난해 140점, 즉 z점수 2.0에서 올해 1.85로 내려간 것은 만점이 그만큼 "덜 희귀"해졌다는 의미다. 다만 수학 표준점수는 공통과목과 선택과목 점수를 조정한 뒤에 계산하므로, 실제 원점수 평균과 표준편차가 이 식에 그대로 들어가는 것은 아니다.

z점수로 본 1등급컷, 분포는 정규분포였을까?

수능 1등급은 상위 4퍼센트다. 점수가 정규분포를 따른다면 상위 4퍼센트 경계의 z점수는 표준정규분포표에서 약 1.75이고, 표준점수로는 135점이어야 한다.

$$P(Z \ge 1.75) \approx 0.040, \qquad P(Z \ge 1.40) \approx 0.081$$

표준정규분포의 위쪽 꼬리 확률

그런데 실제 1등급컷의 z점수는 1.40이다. 정규분포라면 z점수 1.40 이상은 상위 8퍼센트에 해당하는데, 현실에서는 그 지점이 상위 4퍼센트 경계였다. 평균보다 한참 위쪽 구간에 수험생이 정규분포 예상보다 적게 퍼져 있고, 대신 만점 근처에 한꺼번에 몰려 있었다는 뜻이다. 최고점자 2,741명은 수학 응시자의 약 0.7퍼센트로, 이들이 모두 같은 표준점수를 나눠 가졌다. 쉬운 시험에서 점수 분포의 위쪽이 만점이라는 벽에 막혀 뭉치는 현상, 이른바 천장 효과가 z점수 하나로 드러난다.

z점수 계산과 T점수, 과목이 다를 때 비교하는 법

z점수와 함께 자주 검색되는 것이 T점수다. T점수는 z점수에 10을 곱하고 50을 더한 값으로, 수능 탐구 영역 표준점수와 같은 방식이다. 결국 z점수, T점수, 수능 표준점수는 모두 같은 z점수를 서로 다른 눈금으로 읽은 것일 뿐이라 순위는 절대 바뀌지 않는다. 차이는 합산할 때 생긴다. 표준편차가 큰 과목과 작은 과목의 원점수를 그냥 더하면 점수가 넓게 퍼진 과목이 합계를 좌우한다. 각 과목을 z점수로 바꾼 뒤 더하면 모든 과목이 같은 무게로 들어간다. 대학이나 기관이 여러 과목 성적을 비교할 때 z점수 환산을 쓰는 이유가 이것이다. 반대로 말하면 원점수 합산과 z점수 합산은 같은 학생들의 순위를 다르게 매길 수 있으므로, 어떤 방식으로 반영하는지부터 확인해야 한다.

나는 성적표를 받으면 등급보다 z점수부터 계산해 보는 습관이 있다. 표준점수에서 100을 빼고 20으로 나누는 한 번의 계산으로, 내 점수가 집단의 어디쯤에 있는지와 시험 자체의 성격을 동시에 알 수 있기 때문이다. 본수능은 11월이다. 이번 9월 모평 채점결과처럼 한 번의 쉬운 시험으로 생긴 z점수는 난이도가 바뀌면 크게 흔들릴 수 있으니, 등급컷 숫자 자체보다 내 점수의 z점수가 모의고사마다 어떻게 움직였는지를 보는 편이 훨씬 정확한 진단이 된다.

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참고 자료

한국교육과정평가원 — 2027학년도 수능 9월 모의평가 채점결과 보도자료 파이낸셜뉴스 — 9월 모평 채점 결과, 국어 144점·수학 137점 매일일보 — 9월 모평 국어 어렵고 수학·영어 쉬웠다 Wikipedia — Standard score