독립사건과 배반사건 차이, 확률의 곱과 합으로 구분하는 법

📐 개념 정리

독립사건과 배반사건 차이는 정의를 식으로 적으면 분명해진다. 배반은 교집합이 공집합이고 독립은 확률의 곱이 교집합의 확률과 같다. 주사위 예제와 두 조건의 관계를 수능 확률 기준으로 정리했다.

독립사건과 배반사건은 이름이 비슷해서 수능 확률 문제에서 가장 자주 뒤섞이는 개념이다. 배반사건은 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻이고, 독립사건은 한 사건이 일어나도 다른 사건의 확률이 변하지 않는다는 뜻이다. 독립사건과 배반사건의 정의를 식으로 비교하고, 주사위 예제로 구분하는 방법과 두 조건이 함께 성립하기 어려운 이유까지 정리한다.

독립사건과 배반사건의 정의는 무엇이 다른가요?

배반사건은 두 사건 \(A, B\)에 공통으로 속하는 결과가 없는 경우, 즉 \(A \cap B = \varnothing\)인 경우다. 한 번의 시행에서 두 사건이 동시에 일어나는 일이 없으므로 합사건의 확률은 각각의 확률을 그대로 더해서 구한다. 반면 독립사건은 결과의 겹침 여부가 아니라 확률의 곱으로 정의한다.

$$\text{배반: } P(A \cup B) = P(A) + P(B), \qquad \text{독립: } P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$

배반사건은 확률의 덧셈, 독립사건은 확률의 곱셈으로 판정한다

독립사건을 조건부확률로 풀어 쓰면 의미가 더 분명해진다. \(P(A) > 0\)일 때 \(P(B \mid A) = P(A \cap B) / P(A)\)이므로, 독립이면 \(P(B \mid A) = P(B)\)가 된다. A가 일어났다는 정보가 B의 확률을 전혀 바꾸지 못한다는 뜻이다. 독립사건과 배반사건의 차이를 한 줄로 말하면, 배반은 사건의 구조에 관한 말이고 독립은 확률 값에 관한 말이다.

독립사건과 배반사건은 주사위로 어떻게 구분하나요?

주사위 한 개를 던지는 시행에서 \(A\)를 짝수가 나오는 사건, \(B\)를 3의 배수가 나오는 사건이라고 하자. \(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{3,6\}\)이므로 \(A \cap B = \{6\}\)이다. 공통 원소가 있으니 배반사건이 아니다. 확률은 \(P(A)=\tfrac12\), \(P(B)=\tfrac13\), \(P(A \cap B)=\tfrac16\)이고, \(P(A)P(B)=\tfrac12 \cdot \tfrac13=\tfrac16\)이므로 독립사건이다.

이번에는 \(C\)를 홀수가 나오는 사건이라고 하자. \(A \cap C = \varnothing\)이므로 \(A\)와 \(C\)는 배반사건이다. 그런데 \(P(A \cap C) = 0\)이고 \(P(A)P(C) = \tfrac14\)이므로 곱이 같지 않아서 독립사건이 아니다. 짝수가 나왔다면 홀수는 절대 나올 수 없다는 정보가 홀수의 확률을 \(\tfrac12\)에서 0으로 바꿔 버리기 때문이다.

독립사건과 배반사건 한눈에 비교

• 배반사건: 동시에 일어날 수 없다. 벤 다이어그램에서 두 원이 겹치지 않는다
• 독립사건: 한쪽 결과가 다른 쪽 확률을 바꾸지 않는다. 확률의 곱으로 판정한다
• 두 사건 모두 확률이 0보다 크면 배반이면서 동시에 독립일 수는 없다

독립사건이면서 배반사건일 수 있나요?

배반이면 \(P(A \cap B)=0\)이고, 독립이면 \(P(A \cap B)=P(A)P(B)\)이다. 두 조건이 동시에 성립하려면 \(P(A)P(B)=0\)이어야 하므로 한쪽 사건의 확률이 0이어야 한다. 확률이 0이 아닌 두 사건이라면 독립사건과 배반사건은 동시에 성립하지 않는다. 문제에서 배반이라고 주어졌고 두 확률이 모두 양수라면 그 두 사건은 독립이 아니다.

독립사건의 성질도 하나 짚어 둔다. \(A\)와 \(B\)가 독립이면 \(A\)와 \(B^c\)도 독립이다. 증명은 \(P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(B^c)\)로 끝난다. 독립사건의 여사건도 독립이라는 성질은 확률 계산을 한결 줄여 주는 유용한 도구다.

독립사건과 배반사건 문제는 어떻게 풀어야 하나요?

동전을 두 번 던지는 시행에서 첫 번째 앞면과 두 번째 앞면은 독립사건이다. 첫 번째 결과가 두 번째 동전에 영향을 주지 않기 때문이며, 둘이 동시에 일어나는 확률은 \(\tfrac12 \times \tfrac12=\tfrac14\)이다. 반면 첫 번째가 앞면인 사건과 첫 번째가 뒷면인 사건은 한 번의 던짐에서 동시에 일어날 수 없으므로 배반사건이다.

문제를 풀 때의 순서는 단순하게 가져가는 것이 좋다. 먼저 사건의 원소를 적어 겹치는지 확인해 배반 여부를 판정한다. 그다음 확률의 곱이 교집합의 확률과 같은지 계산해 독립 여부를 판정한다. 마지막으로 문제에서 요구한 합사건이나 교집합의 확률에 알맞은 식을 쓴다. 독립사건과 배반사건을 말로만 구분하려다 틀리는 경우가 많아서, 식으로 확인하는 습관이 더 안전하다.

정리하면 배반사건은 겹치지 않는 사건이고 독립사건은 확률의 곱이 맞는 사건이다. 확률이 0이 아니면 둘은 동시에 성립하지 않으므로, 두 사건이 배반이라고 해서 독립이라고 착각하지 않는 것이 핵심이다.

독립사건과 배반사건을 정리하며 확인한 점

이 개념을 정리하면서 학생들이 실수하는 지점이 대개 말의 느낌에 있다는 점을 다시 확인했다. 독립이라는 단어는 서로 관계가 없다는 느낌을 주고, 배반이라는 단어는 서로 맞서는 느낌을 준다. 그래서 관계가 없으니 겹치지 않을 것이라고 연결하기 쉽다. 하지만 실제로는 정반대에 가까워서, 겹치지 않는 사건이야말로 서로의 정보를 가장 강하게 주고받는 사건이다. 정의를 식으로 먼저 적는 습관이 이 혼동을 가장 확실하게 막아 준다.

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참고 자료

KICE 한국교육과정평가원Khan Academy — Independent events