삼각함수 덧셈정리 공식과 증명, 배각·반각 공식 유도 정리

📐 개념 정리

삼각함수 덧셈정리는 두 각의 합과 차에 대한 사인과 코사인을 각각의 삼각함수로 풀어 쓰는 공식이다. 단위원 회전으로 증명하는 과정과 여기서 배각 공식, 반각 공식, 삼각함수 합성이 어떻게 따라 나오는지를 예제로 정리했다.

삼각함수 공식 중에서 외울 것이 가장 많아 보이는 단원이 덧셈정리다. 그런데 실제로 외워야 하는 것은 사인과 코사인의 합 공식 두 개뿐이고, 나머지는 거기서 각을 바꿔 끼우면 전부 나온다. 덧셈정리의 모양과 증명을 먼저 잡고, 배각 공식과 반각 공식, 삼각함수 합성까지 한 줄기로 이어서 정리한다.

삼각함수 덧셈정리 공식은 무엇인가요?

덧셈정리는 두 각을 더하거나 뺀 각의 삼각함수를 각각의 각에 대한 삼각함수로 바꿔 쓰는 공식이다. 사인, 코사인, 탄젠트에 대해 다음과 같이 쓴다.

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

사인의 덧셈정리 — 부호가 좌변과 같은 순서로 따라간다

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

코사인의 덧셈정리 — 부호가 좌변과 반대로 뒤집힌다

$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$$

탄젠트의 덧셈정리 — 사인과 코사인의 비에서 유도된다

부호를 외울 때 사인은 같은 순서, 코사인은 반대 순서라고 기억하면 혼동이 줄어든다. 탄젠트 공식은 따로 외우기보다 \(\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta\)를 쓰고 분자와 분모를 각각 \(\cos\alpha\cos\beta\)로 나누면 바로 나온다. 즉 덧셈정리에서 실제로 기억할 것은 위의 두 줄이다.

덧셈정리는 어떻게 증명하나요?

가장 깔끔한 증명은 단위원 위의 두 점 사이 거리를 두 가지 방법으로 재는 것이다. 단위원 위에서 각 \(\alpha\)에 대응하는 점은 \((\cos\alpha, \sin\alpha)\), 각 \(\beta\)에 대응하는 점은 \((\cos\beta, \sin\beta)\)다. 두 점 사이의 거리를 좌표로 계산하면 다음과 같다.

$$d^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$$

피타고라스 항등식을 써서 전개한 결과다

이제 원 전체를 \(-\beta\)만큼 회전시킨다. 회전은 거리를 바꾸지 않으므로 같은 두 점이 각각 각 \(\alpha-\beta\)와 각 \(0\)의 위치로 옮겨 가도 거리 \(d\)는 그대로다. 두 번째 점은 \((1, 0)\)이 되므로 거리의 제곱은 \(2 - 2\cos(\alpha-\beta)\)가 된다. 두 결과를 같다고 놓으면 코사인의 차 공식이 나온다.

$$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

회전이 거리를 보존한다는 사실 하나로 얻어진다

여기서 \(\beta\) 자리에 \(-\beta\)를 넣으면 코사인의 합 공식이 되고, \(\alpha\) 자리에 \(90^\circ - \alpha\)를 넣고 여각 관계를 쓰면 사인의 덧셈정리가 따라 나온다. 덧셈정리 증명의 뼈대는 결국 회전이 길이를 바꾸지 않는다는 성질 하나다.

배각 공식은 덧셈정리에서 어떻게 나오나요?

배각 공식은 덧셈정리에서 \(\beta\)에 \(\alpha\)를 그대로 대입한 결과다. 새로운 정리가 아니라 덧셈정리의 특수한 경우일 뿐이다.

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$

두 각이 같을 때의 덧셈정리

코사인의 배각 공식은 피타고라스 항등식 \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)을 이용해 세 가지 모양으로 바꿔 쓸 수 있다. \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\)로 쓰면 코사인만 남고, \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\)로 쓰면 사인만 남는다. 적분이나 방정식 풀이에서 어느 모양을 고르느냐에 따라 계산량이 크게 달라지므로 세 형태를 모두 알아 두는 편이 유리하다.

반각 공식과 삼각함수 합성도 같은 뿌리인가요?

반각 공식은 코사인 배각 공식을 거꾸로 푼 것이다. \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\)에서 \(\sin^2\alpha\)에 대해 정리하고 \(\alpha\)를 \(\theta/2\)로 바꾸면 반각 공식이 얻어진다.

$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$$

차수를 낮추는 공식이라 적분에서 자주 쓰인다

삼각함수 합성도 덧셈정리를 거꾸로 읽은 것이다. \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 꼴을 하나의 사인으로 묶으려면 사인의 덧셈정리 우변과 모양을 맞추면 된다. \(r = \sqrt{a^2+b^2}\)로 두고 \(\cos\varphi = a/r\), \(\sin\varphi = b/r\)이 되는 각 \(\varphi\)를 잡으면 다음과 같이 정리된다.

$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta + \varphi)$$

덧셈정리를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 결과다

이 합성이 중요한 이유는 최댓값과 최솟값이 바로 보이기 때문이다. 사인의 값은 \(-1\)과 \(1\) 사이이므로 좌변의 최댓값은 \(\sqrt{a^2+b^2}\), 최솟값은 그 음수가 된다. 예를 들어 \(3\sin\theta + 4\cos\theta\)의 최댓값은 계산 없이 \(5\)임을 알 수 있다.

덧셈정리 활용 예제를 풀어 볼까요?

15도의 사인값을 구해 보자. 15도는 45도에서 30도를 뺀 각이므로 사인의 차 공식에 그대로 넣으면 된다. \(\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)이고, 값을 대입하면 다음을 얻는다.

$$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

특수각의 조합으로 새로운 각의 값을 얻는다

같은 방식으로 75도는 45도와 30도의 합으로, 105도는 60도와 45도의 합으로 처리할 수 있다. 덧셈정리가 특수각 표를 넓혀 주는 도구라는 점이 여기서 드러난다. 또 두 직선이 이루는 각을 구할 때도 기울기를 탄젠트로 보고 탄젠트의 차 공식을 쓰면 각의 크기를 바로 계산할 수 있다.

덧셈정리 단원에서 외울 것은 사인과 코사인의 합 공식 두 줄이다. 배각은 두 각을 같게 둔 경우, 반각은 배각을 거꾸로 푼 것, 합성은 덧셈정리를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 것이다.

덧셈정리를 정리하며 느낀 점

공식집에서 이 단원을 보면 줄이 열 개 넘게 늘어서 있어 질리기 쉽다. 그런데 유도 순서대로 한 번 써 내려가 보니 뿌리가 되는 식은 코사인의 차 공식 하나였다. 거기서 각을 바꿔 넣는 조작만으로 나머지가 전부 나온다는 점을 확인하고 나니 외울 양이 체감상 크게 줄었다. 시험에서 공식이 기억나지 않을 때도 단위원에서 회전이 거리를 보존한다는 한 문장만 떠올리면 그 자리에서 복원할 수 있다는 점이 이 단원의 가장 큰 장점이라고 느꼈다.

함께 읽으면 좋은 글

로그 뜻과 성질 공식 정리, 밑 변환과 상용로그 계산 예제근의 공식 유도와 판별식, 이차방정식 풀이 공식 정리

참고 자료

Wolfram MathWorld — Trigonometric Addition FormulasKhan Academy — Trigonometric identities한국교육과정평가원