근의 공식 유도와 판별식, 이차방정식 풀이 공식 정리

📐 개념 정리

근의 공식은 이차방정식의 해를 계수 a, b, c만으로 구하는 공식이다. 근의 공식을 완전제곱식으로 유도하고 판별식, 짝수 b 공식, 근과 계수의 관계를 예제로 정리했다.

근의 공식은 인수분해로 풀리지 않는 이차방정식까지 풀 수 있게 해 주는 만능 해법이다. 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\) (단 \(a \neq 0\))의 해는 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)이다. 이 글은 근의 공식을 외우는 데서 끝내지 않고 완전제곱식으로 직접 유도한 뒤 판별식과 예제 풀이로 이어 간다.

근의 공식은 어떻게 유도하나요?

유도의 핵심은 완전제곱식 만들기다. 먼저 양변을 \(a\)로 나눠 \(x^2\)의 계수를 1로 만들고, 상수항을 오른쪽으로 옮긴다. 그러면 \(x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\)가 된다.

일차항 계수의 절반의 제곱인 \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)를 양변에 더하면 왼쪽이 완전제곱식으로 묶인다.

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

양변에 (b/2a)의 제곱을 더하고 오른쪽을 통분한 결과

이제 양변에 제곱근을 씌우면 \(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)이고, \(\dfrac{b}{2a}\)를 이항하면 근의 공식이 나온다. 제곱근을 씌울 때 플러스와 마이너스가 모두 나오기 때문에 해가 두 개인 것이다.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

근의 공식: 계수 a, b, c만으로 이차방정식의 두 근을 구한다

판별식은 근의 공식에서 무엇을 알려 주나요?

근의 공식의 제곱근 안쪽 \(D=b^2-4ac\)를 판별식이라 부른다. 판별식의 부호만 보면 근을 실제로 구하기 전에 근의 종류를 알 수 있다. \(D>0\)이면 서로 다른 두 실근, \(D=0\)이면 중근, \(D<0\)이면 서로 켤레인 두 허근이 나온다.

그래프로 옮기면 의미가 더 분명하다. 이차함수의 그래프가 x축과 두 점에서 만나면 두 실근, 한 점에서 접하면 중근, 만나지 않으면 실근이 없고 허근을 가진다. 시험에서 접한다 또는 만나지 않는다는 조건이 나오면 곧바로 판별식을 쓰라는 신호로 읽으면 된다.

판별식은 계수에 문자가 들어간 문제에서 특히 힘을 발휘한다. 예를 들어 \(x^2+kx+9=0\)이 중근을 가지려면 \(D=k^2-36=0\)이어야 하므로 \(k=\pm6\)이다. 이차방정식이 실근을 갖는다는 조건은 \(D\geq0\)으로 번역하고, 서로 다른 두 실근이라는 조건은 \(D>0\)으로 번역하면 부등식 하나로 정리된다. 문장 속 표현을 판별식 조건으로 옮기는 연습이 근의 공식 문제의 절반이다.

근의 공식 예제는 어떻게 푸나요?

첫째, \(x^2-5x+6=0\)은 \(D=25-24=1\)이므로 \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\), 즉 \(x=3, 2\)이다. 이 경우는 인수분해와 같은 답이 나온다. 둘째, \(2x^2+3x-1=0\)은 \(D=9+8=17\)이라 \(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\)이다. 17은 제곱수가 아니어서 인수분해가 어렵고 근의 공식이 필요한 전형적인 경우다.

셋째, \(x^2+2x+5=0\)은 \(D=4-20=-16<0\)이다. 제곱근 안이 음수이므로 \(\sqrt{-16}=4i\)로 쓰고 \(x=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i\)가 된다. 실수 범위에서는 근이 없지만 복소수 범위에서는 두 근이 존재한다.

근의 공식의 역사도 흥미롭다. 이차방정식의 풀이는 바빌로니아 점토판에서 이미 특정한 수치 문제의 풀이법으로 나타났고, 문자 계수를 쓴 일반적인 공식은 훨씬 뒤에 정리됐다. 현재 교과서에서 보는 형태의 근의 공식은 음수 계수와 허수까지 다루는 근대 대수학의 틀 위에서 완성된 것이다.

짝수 b 공식과 근과 계수의 관계는 무엇인가요?

일차항 계수가 짝수일 때는 \(b=2k\)로 놓으면 계산이 짧아진다. 근의 공식에 대입해 2로 약분하면 다음 식이 된다.

$$x=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$$

b = 2k일 때의 짝수 b 공식. 4를 곱하고 나누는 과정이 사라져 계산량이 줄어든다

예를 들어 \(x^2+6x+4=0\)은 \(k=3\)이므로 \(x=-3\pm\sqrt{9-4}=-3\pm\sqrt{5}\)이다. 또한 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하면 근의 공식에서 \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\), \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)가 바로 나온다. 두 근의 합을 구할 때 플러스와 마이너스 항이 서로 상쇄되기 때문이다. 근을 직접 구하지 않고도 근의 합과 곱을 알 수 있어 문제 풀이 속도가 빨라진다.

근의 공식을 실수 없이 쓰는 요령은 무엇인가요?

가장 흔한 실수는 부호다. \(-b\)에서 \(b\)가 음수이면 \(-b\)는 양수가 되고, 판별식의 \(-4ac\)에서 \(a\)와 \(c\)의 부호가 다르면 더하기가 된다. 또 분모 \(2a\)는 제곱근 전체뿐 아니라 \(-b\)에도 걸린다는 점을 놓치기 쉬워서, 분수 막대를 길게 그어 분자 전체가 \(2a\)로 나뉘는 것을 눈으로 확인하는 습관이 필요하다.

근의 공식을 쓰기 전에 인수분해가 되는지 먼저 살피고, 되지 않으면 곧바로 판별식을 계산하는 순서가 시간을 아낀다. 계산한 두 근은 합이 -b/a와 같은지, 곱이 c/a와 같은지로 검산할 수 있다.

정리하면 근의 공식은 완전제곱식 만들기를 문자 계수에 한 번 해 둔 결과이며, 제곱근 안쪽의 판별식이 근의 종류를 먼저 알려 준다. 외우기 전에 유도를 한 번 직접 써 보면 부호 실수가 크게 줄어들고, 새로운 형태의 문제를 만나도 당황하지 않고 처음부터 다시 세울 수 있다.

근의 공식을 직접 유도해 보며 느낀 점

근의 공식을 처음 배울 때는 긴 분수식을 통째로 외웠는데, 나중에 완전제곱식 한 줄에서 시작해 직접 유도해 보니 외울 것이 거의 없다는 사실에 놀랐다. 판별식이 왜 제곱근 안쪽에 있는지도 유도를 따라가면 저절로 이해된다. 수능 공부를 하는 학생이라면 근의 공식을 한 번 손으로 유도해 보고, 이후에는 판별식과 근과 계수의 관계를 함께 묶어 연습하길 권한다.

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참고 자료

Wikipedia — Quadratic formulaWikipedia — DiscriminantKhan Academy — Quadratic formula