로그 뜻과 성질 공식 정리, 밑 변환과 상용로그 계산 예제

📐 개념 정리

로그는 지수의 역연산으로, 어떤 수를 만들려면 밑을 몇 번 거듭제곱해야 하는지를 묻는 계산이다. 로그의 뜻과 성질 공식 5가지, 밑 변환 공식, 상용로그로 자릿수 구하는 법을 예제로 정리했다.

로그는 지수의 역연산이다. \(2^3=8\)에서 지수 3을 구하는 계산을 \(\log_2 8 = 3\)이라고 쓴다. 로그의 뜻만 이해하면 성질 공식은 지수법칙을 뒤집은 것에 불과하다. 이 글은 로그의 정의와 성질 공식, 밑 변환 공식, 상용로그를 이용한 자릿수 계산을 예제와 함께 정리한다.

로그란 무엇인가요?

\(a>0,\ a\neq 1,\ b>0\)일 때 \(a^x=b\)를 만족하는 실수 \(x\)를 \(\log_a b\)로 쓴다. 이때 \(a\)를 밑, \(b\)를 진수라고 부른다.

$$ a^x = b \iff x = \log_a b $$

밑이 1이면 거듭제곱이 항상 1이 되어 \(x\)가 하나로 정해지지 않으므로 \(a\neq 1\)이어야 한다. 진수가 0 이하이면 어떤 양수 밑을 거듭제곱해도 나올 수 없으므로 \(b>0\)이다. 로그 문제에서 밑과 진수의 조건을 먼저 확인하는 습관이 방정식 풀이의 오답을 막는다.

예를 들어 \(\log_2 8=3\)은 \(2^3=8\)이라는 뜻이고, \(\log_3 81=4\)는 \(3^4=81\), \(\log_{10} 0.01=-2\)는 \(10^{-2}=0.01\)이라는 뜻이다. 로그 값이 음수가 될 수도 있다는 점이 처음에는 낯설지만 지수가 음수일 수 있다는 사실의 다른 표현이다.

로그 성질 공식 5가지

로그의 성질은 지수법칙에서 곧바로 나온다. \(M, N>0\)일 때 아래 공식이 성립한다.

로그 성질 공식

• \(\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1\)
• 곱셈: \(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\)
• 나눗셈: \(\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)
• 거듭제곱: \(\log_a M^k = k\log_a M\)
• 역함수 관계: \(a^{\log_a M} = M\)

곱셈 공식의 이유는 간단하다. \(M=a^p,\ N=a^q\)라 하면 \(MN=a^{p+q}\)이므로 \(\log_a MN=p+q=\log_a M+\log_a N\)이다. 곱이 합으로 바뀐다는 성질 때문에 로그는 큰 수의 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 계산 도구로 발명됐다.

예제로 \(\log_2 12\)를 쪼개 보자. \(12=4\times 3\)이므로 \(\log_2 12 = \log_2 4 + \log_2 3 = 2+\log_2 3\)이다. 이렇게 진수를 소인수분해해서 성질을 적용하는 것이 로그 계산의 기본 흐름이다.

로그 밑 변환 공식은 어떻게 쓰나요?

밑이 서로 다른 로그끼리 계산하려면 밑을 같게 맞춰야 한다. 밑 변환 공식은 임의의 양수 \(c\ (c\neq 1)\)에 대해 다음과 같다.

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

이 공식에서 \(c=b\)로 놓으면 \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)가 나오고, \(\log_{a^n} b^m = \dfrac{m}{n}\log_a b\)도 같은 방식으로 유도된다. 예컨대 \(\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \dfrac{3}{2}\)이다.

계산기에는 보통 밑이 10인 로그만 있다. \(\log_{10}2\approx 0.3010\)을 알면 \(\log_2 5 = \dfrac{\log_{10}5}{\log_{10}2}\)에서 \(\log_{10}5 = 1-\log_{10}2\approx 0.6990\)이므로 \(\log_2 5\approx 0.6990/0.3010\approx 2.32\)를 얻는다.

상용로그로 자릿수를 구하는 방법

밑이 10인 로그를 상용로그라 하고 \(\log\)로 밑을 생략해 쓰기도 한다. 어떤 양의 정수 \(N\)의 상용로그가 \(n\le \log N < n+1\)을 만족하면 \(N\)은 \(n+1\)자리 수다.

\(2^{100}\)의 자릿수를 구해 보자. \(\log 2^{100} = 100\log 2 \approx 100\times 0.3010 = 30.10\)이므로 \(30\le 30.10<31\)이고, \(2^{100}\)은 31자리 수다. 이렇게 계산기로 다룰 수 없는 큰 수의 자릿수도 로그 한 번으로 알 수 있다.

일상에서도 로그 눈금이 쓰인다. 용액의 산성도 \(\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H^+}]\)가 대표적이고, 지진 규모는 규모가 1 커지면 진폭이 10배가 되도록 정해진 로그 눈금이다. 값이 여러 자리수에 걸쳐 변하는 양을 다룰 때 로그가 편리한 이유다.

로그 방정식 풀이와 주의점

방정식 \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\)을 풀어 보자. 먼저 진수 조건에서 \(x-1>0\)과 \(x+1>0\)이므로 \(x>1\)이다. 곱셈 공식으로 합치면 \(\log_2(x^2-1)=3\)이고, 정의에 따라 \(x^2-1=8\), 즉 \(x=\pm 3\)이다. 조건 \(x>1\)을 만족하는 것은 \(x=3\)뿐이다.

여기서 \(x=-3\)은 진수가 음수가 되어 버려지는 해다. 로그 방정식에서는 풀이 끝에 진수 조건 검사를 반드시 해야 한다. 지수함수 \(y=a^x\)와 로그함수 \(y=\log_a x\)는 직선 \(y=x\)에 대해 대칭이고, \(a>1\)이면 증가함수, \(0<a<1\)이면 감소함수라는 점도 부등식 풀이에서 부등호 방향을 정하는 근거가 된다.

로그 공부 팁

로그가 어렵게 느껴지는 학생을 보면 대개 공식을 외우는 데서 막힌다. 매번 \(a^x=b\)로 되돌려 쓰는 연습을 해 보면 성질 공식이 지수법칙과 같은 내용임을 몸으로 알게 된다. 이 글의 예제를 직접 손으로 풀어 보면 로그의 뜻과 성질이 한 줄로 이어지는 것을 확인할 수 있다.

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참고 자료

Wikipedia — Logarithm한국교육과정평가원Wolfram MathWorld — Logarithm