리만 가설 증명 소식 — OpenAI 준리만 가설 논문, 영점 띠 정리

📐 수학 이야기

리만 가설 증명 소식의 정체는 가설 자체가 아니라 영점의 위치를 띠 안에 가두는 준리만 가설이다. OpenAI 주장의 내용, 검증 상황, 소수 정리 오차항과의 관계를 Quanta 보도 중심으로 정리했다.

리만 가설 증명이라는 제목의 소식이 이어지고 있지만 지금 논의되는 것은 리만 가설 자체가 아니라 그보다 약한 준리만 가설이다. Quanta Magazine은 2026년 10월 19일 기사에서 OpenAI가 10월 6일 공개한 AI 생성 결과 가운데 준리만 가설 논문을 다루며, 전문가들이 대체로 맞다고 본다고 전했다. 무엇이 주장됐고 무엇이 아직 확인되지 않았는지, 그 결과가 소수 분포에 어떤 의미인지를 수식과 함께 정리한다.

리만 가설 증명이 아니라 준리만 가설인 이유는 무엇인가요?

리만 제타 함수 \(\zeta(s)\)의 자명하지 않은 영점은 \(s=\beta+i\gamma\) 꼴의 복소수다. 이 영점들이 모두 실수부 \(\beta=1/2\)인 직선 위에 있다는 것이 1859년 리만이 제기한 리만 가설이다. 160년 넘게 열려 있고 클레이 수학연구소의 밀레니엄 난제 일곱 개 중 하나이며, 처음 12조 개의 영점이 이 직선 위에 있다는 것은 수치로 확인됐다. 그러나 모든 영점이 그렇다는 리만 가설 증명은 지금까지 없었다.

준리만 가설은 영점이 그 직선 위에 있다고 주장하지 않고, 영점이 모두 \(0<\beta<1\)이라는 알려진 띠보다 좁은 세로 띠 안에 있다고만 주장한다. 직선 하나로 줄이는 것과 띠를 얇게 하는 것은 난이도가 크게 다르다. 그래서 정확히 말하면 지금 화제의 리만 가설 증명 소식은 리만 가설 증명이 아니라 준리만 가설에 대한 주장이다.

리만 가설 증명이 이토록 오래 걸린 이유는 영점이 소수의 분포 전체와 직결되어 있어 어느 한쪽의 증거만으로는 닫히지 않기 때문이다. 지금까지 리만 가설 증명을 시도한 접근은 해석학과 대수적 정수론, 물리학적 유비까지 다양했지만 영점을 한 직선에 가두는 일은 성공하지 못했다. 그래서 리만 가설 증명에 조금이라도 가까워지는 중간 결과, 곧 영점이 있는 띠를 좁히는 결과가 오랫동안 중요한 목표로 여겨졌다. 이번 소식이 주목받는 것도 리만 가설 증명 자체가 아니라 그 중간 단계가 AI 생성 논문으로 제시됐기 때문이다.

$$\text{리만 가설: } \beta=\tfrac12 \qquad\qquad \text{준리만 가설: } \tfrac12-\delta\le\beta\le\tfrac12+\delta,\ \ \delta<\tfrac12$$

리만 가설은 영점이 한 직선 위에 있다는 주장이고, 준리만 가설은 그보다 넓지만 0과 1 사이 전체보다는 좁은 띠를 요구한다.

OpenAI는 무엇을 공개했고 검증은 어디까지 됐나요?

Quanta 보도에 따르면 OpenAI는 2026년 10월 6일 AI가 생성한 수학 결과를 대량으로 공개했고, 그 안에 준리만 가설 논문이 있었다. 9월 30일 자 첫 번째 버전은 199쪽 분량으로 모든 영점이 실수부 1/8과 7/8 사이에 있다고 주장했고 정형 증명 언어 린으로 검증됐다. 약 일주일 뒤 완성된 두 번째 버전은 49쪽이며 실수부가 1/12와 11/12 사이라고 주장하지만 아직 정형 검증은 되지 않았다. 구간의 숫자는 보도 기준이므로 정확한 값은 원 논문에서 확인해야 한다.

수학자들은 7/8 버전을 제쳐 두고 11/12 버전에 집중하고 있다. 기사에 따르면 전문가들은 결과가 대체로 맞다고 보지만, 다른 수학자들이 쓴 7쪽에서 13쪽 분량의 해설이 비공개로 돌고 있을 뿐 공식 검토는 끝나지 않았다. 막심 라지윌우는 두 논문 모두 서술이 매우 거칠어 학계의 기준에 크게 못 미친다고 평했다. 피터 사르낙은 사람이 모든 세부를 확인하고 이해하기 전에는 정리로 부르지 않겠다고 했다.

현재까지 확인된 상태

• 주장 주체: OpenAI, 2026년 10월 6일 공개
• 버전 1: 영점 실수부 1/8~7/8, 199쪽, 린 정형 검증 완료
• 버전 2: 영점 실수부 1/12~11/12, 49쪽, 정형 검증 미완료, 전문가 검토 집중 대상
• 평가: 전문가 다수는 대체로 옳다고 보나 사르낙은 사람의 확인 전에는 정리로 부르지 않겠다는 입장

준리만 가설은 소수 분포에 어떤 의미가 있나요?

소수 정리는 \(x\) 이하 소수의 개수가 \(x/\ln x\)에 가깝다는 정리이고, 제타 함수의 영점은 그 근사의 오차를 정확히 지배한다. 영점 실수부의 상한을 \(\theta\)라 하면 소수를 세는 함수 \(\psi(x)\)의 오차는 \(x^{\theta+\varepsilon}\) 정도로 억제된다. 리만 가설이 참이면 \(\theta=1/2\)이고 오차는 \(\sqrt{x}\)에 로그 인자가 붙는 수준이 된다.

$$\psi(x)=x+O\!\left(x^{\theta+\varepsilon}\right),\qquad \theta=\sup_{\rho}\operatorname{Re}\rho$$

영점의 실수부 상한 θ가 작을수록 소수 개수의 오차가 작아진다. θ가 1보다 작다는 것만 알아도 오차에 거듭제곱 형태의 개선이 생긴다.

현재까지 증명된 영점 없는 영역으로 얻는 오차는 거듭제곱보다 훨씬 약한 수준이다. 영점이 11/12 이하에 있다는 주장이 옳다면 리만 가설 증명에는 못 미쳐도 소수 개수의 오차에 거듭제곱 절감이 처음 생기는 셈이다. 라지윌우는 리만 가설 증명으로 얻을 결과 대부분이 이미 준리만 가설에서 따라 나온다고 말했는데, 소수 이론의 많은 결과가 영점이 1에 얼마나 가까운지에만 민감하기 때문이다.

수학계는 이 소식을 어떻게 받아들이고 있나요?

스탠퍼드의 제러드 리히트먼은 AI가 낸 수학 성과 중 단연 가장 의미 있는 것이라고 평가했다. 조지아공대의 알렉산더 던은 잘 알려진 아이디어를 놀랍게 종합한 증명이라고 설명했다. 증명에 쓰인 도구는 오래전 간과된 메타플렉틱 형식이며, 이 도구는 2002년 헨리크 이바니에츠가 아슬아슬하게 놓쳤다고 전해진다. 윌 소인은 완전한 리만 가설 증명은 아직 멀었을 것이라고 보았고, 사르낙은 이번 학기 강의를 이 증명을 공부하는 내용으로 바꾸고 있다.

한 가지 덧붙일 점은 OpenAI 결과 전체가 같은 수준으로 검증된 것은 아니라는 사실이다. 공개된 수백 편 가운데 사람이 편집한 것으로 알려진 논문은 11/12 버전 하나뿐이고, 나머지는 독립 검증이 진행 중이다. 이 소식을 전하는 글들이 리만 가설 증명이라는 표현을 쓰더라도 현재 상태는 검증 중인 약한 형태의 결과다.

정리하면 이번 소식은 리만 가설이 증명됐다는 뜻이 아니다. 영점이 있을 수 있는 띠를 크게 좁힌 AI 생성 논문이 나왔고, 수학자들이 그 증명을 읽고 검증하는 중이라는 것이 현재 상태다.

리만 가설 증명 소식을 정리하며 확인한 점

이 소식을 정리하면서 제목에 리만 가설 증명이라는 말이 붙는 순간 정확성이 무너진다는 점이 가장 인상 깊었다. 직선과 띠의 차이를 식으로 적어 보니 같은 영점 이야기라도 요구하는 수준이 얼마나 다른지 분명해졌다. 11/12라는 숫자가 보도마다 다르게 소개될 수 있다는 점도 확인했으므로 숫자는 원 논문과 Quanta 기사를 함께 보고 판단하려 한다.

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참고 자료

Quanta Magazine — AI Proved the Quasi-Riemann Hypothesis. What Happens Now?Clay Mathematics Institute — The Riemann HypothesisWikipedia — Riemann hypothesis