평균과 중앙값 차이, 평균 소득이 체감과 다른 이유

🧮 생활 속 수학

평균과 중앙값 차이는 극단값 하나가 얼마나 숫자를 끌고 가는지에서 갈린다. 평균과 중앙값을 직접 계산해 보고 평균 소득이 체감보다 높게 나오는 이유와 통계 기사를 읽는 법을 정리했다.

평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 값이고, 중앙값은 크기순으로 줄을 세웠을 때 한가운데 값이다. 평균과 중앙값 차이가 크면 그 데이터는 한쪽으로 크게 치우쳐 있다는 신호다. 이 글은 직접 계산한 숫자 예시로 평균과 중앙값 차이가 왜 생기는지, 기사 속 평균을 어떻게 읽어야 하는지 정리한다.

평균과 중앙값은 어떻게 계산하나요?

다섯 명의 월급이 200만 원, 250만 원, 300만 원, 350만 원, 400만 원이라고 해 보자. 평균은 다 더한 1,500만 원을 5로 나눈 300만 원이다. 중앙값은 이미 작은 순서로 놓여 있으니 세 번째 값인 300만 원이다. 값이 좌우 대칭으로 퍼져 있으면 평균과 중앙값은 같거나 거의 같다.

\(n\)개의 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)이 있을 때 평균은 다음과 같다.

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$

중앙값은 값을 크기순으로 놓았을 때 \(n\)이 홀수면 가운데 값, 짝수면 가운데 두 값의 평균이다. 평균은 모든 값의 크기를 반영하지만, 중앙값은 값의 순서만 쓴다. 평균과 중앙값 차이는 이 성질 차이에서 나온다.

극단값 하나가 평균을 어떻게 움직이나요?

위 다섯 명 가운데 400만 원을 받던 사람 자리에 월 5,000만 원을 버는 사람이 들어왔다고 하자. 값은 200, 250, 300, 350, 5,000만 원이 된다. 평균은 6,100만 원을 5로 나눈 1,220만 원으로 네 배 넘게 뛰지만, 중앙값은 여전히 세 번째 값인 300만 원이다.

이 예시에서 평균 1,220만 원은 다섯 명 중 누구의 월급과도 닮지 않았다. 네 명은 평균보다 훨씬 적게 받는다. 평균은 극단값에 민감하고 중앙값은 극단값에 둔감하다는 말을 숫자로 옮기면 이렇다. 통계에서는 이를 이상치에 대한 강건성 차이라고 부른다.

평균과 중앙값 차이로 읽는 분포 모양

• 평균 = 중앙값: 값이 대칭에 가깝게 퍼져 있다
• 평균 > 중앙값: 큰 값 쪽으로 꼬리가 길다. 소득, 집값, 자산에서 흔하다
• 평균 < 중앙값: 작은 값 쪽으로 꼬리가 길다. 시험이 아주 쉬울 때 나타난다

평균 소득이 체감보다 높게 느껴지는 이유

소득과 자산 분포는 대부분 오른쪽으로 길게 치우친 모양이다. 소수의 아주 높은 값이 평균을 끌어올리기 때문에, 평균 소득이나 평균 자산은 중간에 있는 사람의 형편보다 높게 나오기 쉽다. 같은 데이터에서 중앙값은 평균보다 낮게 나오는 것이 일반적이다.

그래서 평균 소득을 인용한 기사를 읽을 때는 같은 통계의 중앙값이 함께 제시됐는지를 먼저 본다. 평균만 있고 중앙값이 없다면 분포가 치우쳐 있어도 알 길이 없다. 평균과 중앙값 차이가 크게 벌어진 통계일수록 평균 한 숫자로 대표하려는 시도가 위험하다.

다만 중앙값이 항상 정답은 아니다. 중앙값은 극단값의 크기를 버리기 때문에 총합이 필요한 계산, 예컨대 한 집단 전체의 소득 총액이나 세수 추정에는 평균이 맞다. 목적이 대표값이면 중앙값, 총량이면 평균이라고 기억하면 된다.

평균의 함정은 어디서 또 나타나나요?

통계를 읽다 보면 평균과 중앙값 말고 최빈값도 등장한다. 최빈값은 가장 자주 나오는 값이다. 세 대표값이 서로 다르면 분포가 비대칭이라는 단서가 된다. 예를 들어 어느 가게의 대기 시간 데이터에서 평균이 12분, 중앙값이 7분이라면 대부분은 7분 안팎에 끝나고 일부가 아주 오래 기다리는 구조다.

집단을 합쳐 평균을 낼 때도 함정이 있다. 두 집단의 평균을 단순히 다시 평균하면 인원수가 다른 경우 틀린다. 50명 집단의 평균이 70점, 10명 집단의 평균이 90점이면 전체 평균은 단순평균 80점이 아니라 (50×70+10×90)/60으로 계산한 약 73.3점이다. 이렇게 인원수 가중치를 빼먹은 평균은 기사나 보고서에서 흔한 오류다.

평균과 중앙값만으로 분포를 설명하기 어렵다면 흩어진 정도를 함께 본다. 평균이 같아도 모두가 비슷한 집단과 격차가 큰 집단은 전혀 다르기 때문이다. 표준편차는 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를, 사분위수는 아래 25%와 위 25% 경계를 알려 준다. 평균과 중앙값에 표준편차나 사분위수를 더하면 숫자 하나가 가리는 모습을 훨씬 정확히 복원할 수 있고, 평균과 중앙값 차이를 해석할 근거도 커진다.

평균은 총량을 인원으로 나눈 값이고, 중앙값은 한가운데 있는 사람의 값이다. 둘은 서로 다른 질문에 답한다.

평균과 중앙값 중 무엇을 써야 하나요?

짝수 개의 값에서 중앙값을 구하는 예를 하나 더 보자. 여섯 가구의 한 달 통신비가 3만 원, 4만 원, 4만 원, 5만 원, 6만 원, 18만 원이다. 크기순으로 놓으면 가운데 두 값이 4만 원과 5만 원이므로 중앙값은 4.5만 원이다. 평균은 합계 40만 원을 6으로 나눈 약 6.7만 원이다. 평균과 중앙값이 2만 원 넘게 벌어진 것은 18만 원 하나 때문이다.

그렇다면 이 여섯 가구의 평균적인 통신비를 말할 때 평균과 중앙값 중 무엇이 더 적절할까. 대부분의 가구가 쓰는 금액을 알고 싶다면 4.5만 원이 더 대표성이 있다. 반대로 통신사가 이 여섯 가구에서 걷는 총액을 따지는 상황이라면 평균에 가구 수를 곱한 40만 원이 의미 있다. 평균과 중앙값은 우열이 아니라 질문의 차이다.

집값 통계도 같은 구조다. 지역 아파트 가격은 비싼 몇 채가 평균을 올리는 오른쪽 꼬리 분포라서, 평균 매매가가 오르더라도 중간 가격대의 거래가 오른 것인지 고가 거래 몇 건 때문인지는 평균만으로 알 수 없다. 평균과 중앙값의 변화 방향을 같이 비교하면 그 차이를 읽을 수 있다. 이런 해석은 계산 구조를 이해하는 데까지만 유효하며, 거래나 투자 판단은 조건이 사람마다 다르다.

직접 확인해 본 계산 습관

이 글의 예시 숫자는 모두 직접 계산해 확인했다. 숫자를 하나만 바꿔 보는 것만으로도 평균과 중앙값 차이가 눈에 들어온다. 어떤 통계를 만나든 가장 큰 값을 머릿속에서 지워 보고 평균이 크게 움직이는지 보면, 그 평균이 얼마나 믿을 만한지 가늠할 수 있다. 스프레드시트가 있다면 AVERAGE 함수와 MEDIAN 함수를 같은 열에 나란히 써 보는 것만으로도 평균과 중앙값 차이를 바로 확인할 수 있다. 자신의 가계부나 기사에 나온 표로 해 보면 감각이 빠르게 붙는다. 이 글은 계산 구조를 설명하는 글이며, 특정 정책이나 투자 판단을 권하는 글이 아니다.

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참고 자료

통계청 국가통계포털 KOSISWikipedia — MedianWikipedia — Average