몫의 미분법 공식과 증명, 예제와 외우는 법

📐 개념 정리

몫의 미분법은 분수 꼴로 된 함수를 미분하는 공식이다. 몫의 미분법 공식을 도함수의 정의와 곱의 미분법으로 두 번 증명하고, 교육과정 위치, 탄젠트 미분 등 예제와 자주 틀리는 실수를 정리했다.

몫의 미분법은 한 함수를 다른 함수로 나눈 꼴의 함수를 미분하는 규칙이다. 결론부터 말하면 '분모 그대로 곱하기 분자 미분, 빼기 분자 그대로 곱하기 분모 미분, 전체를 분모 제곱으로 나누기'다. 공식 자체는 한 줄이지만 순서와 부호를 헷갈리기 쉬워서, 어디서 나왔는지 증명으로 이해해 두면 시험장에서 훨씬 덜 흔들린다.

몫의 미분법이란? 공식과 교육과정 위치

미분 규칙은 보통 합과 차, 상수배, 곱, 몫, 합성 순서로 배운다. 몫의 미분법은 이 가운데 나눗셈을 담당하는 규칙으로, 유리함수와 삼각함수, 지수·로그함수가 섞인 분수식을 미분할 때 반드시 필요하다.

몫의 미분법이 수학Ⅱ에 나오는지 묻는 경우가 많은데, 현행 교육과정에서 수학Ⅱ는 다항함수의 미분까지만 다루고 곱의 미분법에서 멈춘다. 몫의 미분법은 선택과목 미적분의 '여러 가지 미분법' 단원에서 처음 등장하고, 2022 개정 교육과정에서는 미적분Ⅱ에서 배운다. 대학 미적분학에서는 첫 학기 초반에 곱의 미분법과 함께 다룬다.

몫의 미분법 공식 — 도함수의 정의로 증명하기

두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 미분가능하고 \(g(x) \neq 0\)일 때, 몫의 미분법 공식은 다음과 같다.

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

몫의 미분법 공식

\(h(x) = f(x)/g(x)\)로 놓고 평균변화율을 통분한다. 분자에 \(f(x)g(x)\)를 한 번 빼고 한 번 더하는 것이 증명의 핵심 기술이다.

$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \frac{1}{g(x+\Delta x)\,g(x)}\left\{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\,g(x) - f(x)\,\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right\}$$

통분한 뒤 f(x)g(x)를 빼고 더해 두 개의 평균변화율로 쪼갠다

이제 \(\Delta x \to 0\)으로 보내면 중괄호 안의 두 평균변화율은 각각 \(f'(x)\), \(g'(x)\)가 된다. 앞의 분모는 \(g\)가 미분가능하므로 연속이고, 따라서 \(g(x+\Delta x) \to g(x)\)가 되어 \(\{g(x)\}^2\)로 수렴한다. 정리하면 위의 몫의 미분법 공식이 그대로 나온다. 미분가능하면 연속이라는 사실이 증명 속에 숨어 있다는 점도 눈여겨볼 만하다.

곱의 미분법으로 유도하는 두 번째 증명

몫이 미분가능하다는 것을 알고 있다면 더 짧은 길도 있다. \(f = h \cdot g\)이므로 양변을 곱의 미분법으로 미분한 뒤 \(h'\)에 대해 풀면 된다.

$$f' = h'g + hg' \;\Longrightarrow\; h' = \frac{f' - \dfrac{f}{g}\,g'}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

곱의 미분법에서 h'만 남기면 몫의 미분법이 된다

분자가 상수 1인 특수한 경우는 따로 기억해 두면 편하다. \(f = 1\)이면 \(f' = 0\)이므로 역수의 미분법 \(\left(1/g\right)' = -g'/g^2\)이 된다. 여기에 \(g = x^n\)을 넣으면 \(\left(x^{-n}\right)' = -n x^{-n-1}\)이 나와, 거듭제곱의 미분법이 음의 정수 지수까지 그대로 확장된다는 것도 확인할 수 있다.

몫의 미분법 예제 — 탄젠트와 유리함수

가장 유명한 예제는 탄젠트 함수다. \(\tan x = \sin x / \cos x\)로 쓰고 몫의 미분법을 적용하면 분자가 \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)로 깔끔하게 정리된다.

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

탄젠트의 도함수는 시컨트의 제곱

유리함수도 같은 방식이다. \(y = (x^2+1)/(x-1)\)이면 분자의 도함수는 \(2x\), 분모의 도함수는 \(1\)이다.

$$y' = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$

분자는 전개해서 정리하고, 분모는 제곱 꼴 그대로 두는 것이 편하다

분모를 전개하지 않고 \((x-1)^2\) 꼴로 남겨 두면 도함수의 부호가 분자에서만 결정된다는 것이 한눈에 보인다. 극값이나 증가·감소를 판단하는 문제에서 이 습관이 계산 시간을 크게 줄여 준다.

몫의 미분법 외우는 법과 자주 하는 실수

몫의 미분법에서 가장 흔한 실수는 분자의 뺄셈 순서를 뒤집는 것이다. 곱의 미분법은 더하기라 순서가 상관없지만, 몫의 미분법은 빼기라 순서가 바뀌면 부호가 통째로 뒤집힌다. 그래서 많이 쓰는 암기법이 '분자 미분부터 시작한다'는 규칙이다. 분자를 미분한 항이 앞에, 분모를 미분한 항이 뒤에 온다. 두 번째 실수는 분모를 제곱하지 않는 것, 세 번째는 \(g(x) \neq 0\) 조건을 잊는 것이다.

나도 처음 미적분을 공부할 때 몫의 미분법 문제에서 부호가 자꾸 반대로 나와 한참 헤맸다. 공식을 몇 번 더 외우는 대신 곱의 미분법에서 유도하는 두 줄짜리 증명을 손으로 써 보고 나서야 순서가 머릿속에 고정됐다. 공식이 기억나지 않을 때 다시 만들어 낼 수 있다는 안도감이 생각보다 컸다.

마지막으로, 모든 분수식에 몫의 미분법을 쓸 필요는 없다. \(x^3/5\)처럼 분모가 상수이면 상수배로, \(3/x^2\)처럼 분자가 상수이면 음의 지수로 바꿔 미분하는 쪽이 빠르다. 몫의 미분법은 분자와 분모가 모두 변수를 포함할 때 꺼내는 도구라고 기억해 두면 된다.

함께 읽으면 좋은 글

함수의 극한 정의와 성질, 극한값 구하는 법 로피탈 정리 증명과 조건 — 쓰면 안 되는 이유까지 실질금리란? 뜻과 계산법, 명목금리와 차이

참고 자료

OpenStax Calculus Volume 1 — 3.3 Differentiation Rules Wikipedia — Quotient rule 국가교육과정정보센터 — 수학과 교육과정