표준편차 뜻과 공식, 분산과 구하는 법 정리

📐 개념 정리

표준편차는 자료가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 원래 단위로 나타낸 값이다. 표준편차 뜻과 공식, 분산과의 관계, 구하는 법 예제, 제곱하는 이유와 n-1로 나누는 표본표준편차까지 정리했다.

표준편차는 각 자료가 평균에서 떨어진 거리, 즉 편차를 제곱해 평균 낸 분산에 다시 제곱근을 씌운 값이다. 평균이 자료의 중심을 알려 준다면, 표준편차는 자료가 그 중심 주위에 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 알려 준다. 단위가 원래 자료와 같아서 '평균에서 대략 이만큼씩 벗어나 있다'고 바로 읽을 수 있다는 것이 분산과 다른 점이다.

표준편차 뜻 — 평균이 같아도 흩어짐은 다르다

A반 학생 네 명의 수학 점수가 모두 70점이고, B반 네 명은 50점, 60점, 80점, 90점이라고 하자. 두 반의 평균은 똑같이 70점이지만, 누구에게 물어봐도 두 반의 성적 분포가 같다고 하지 않을 것이다. 평균 하나로는 이 차이를 설명할 수 없고, 그래서 흩어짐을 재는 숫자가 필요하다.

A반의 표준편차는 0점이다. 모두가 평균에 딱 붙어 있기 때문이다. B반의 표준편차는 약 15.8점으로, 학생들이 평균에서 대략 16점 안팎씩 떨어져 있다는 뜻이다. 표준편차가 클수록 자료가 넓게 퍼져 있고, 작을수록 평균 근처에 몰려 있다. 수능 표준점수나 시험 성적표에 표준편차가 함께 나오는 이유도, 같은 점수라도 전체가 얼마나 흩어져 있느냐에 따라 의미가 달라지기 때문이다.

표준편차 공식 — 편차에서 분산을 거쳐 유도하기

자료 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)의 평균을 \(m\)이라 하면, 각 자료의 편차는 \(x_i - m\)이다. 흩어짐의 크기를 재려고 편차를 그대로 평균 내면 언제나 0이 나온다. 양의 편차와 음의 편차가 정확히 상쇄되기 때문이다.

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - m) = \sum_{i=1}^{n}x_i - nm = nm - nm = 0$$

편차의 합은 어떤 자료에서든 0이다

그래서 편차를 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균을 낸다. 이것이 분산 \(V\)다. 제곱을 했으니 단위도 제곱이 된다. 점수의 분산은 '점의 제곱'이라는 어색한 단위를 갖기 때문에, 다시 제곱근을 씌워 원래 단위로 돌려놓은 것이 표준편차 \(\sigma\)다.

$$V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - m)^2, \qquad \sigma = \sqrt{V}$$

분산은 편차 제곱의 평균, 표준편차는 분산의 양의 제곱근

계산을 빠르게 해 주는 변형 공식도 있다. 편차 제곱을 전개해 평균을 내면 분산은 '제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값'이 된다.

$$V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2 - 2mx_i + m^2\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2m\cdot m + m^2 = \overline{x^2} - m^2$$

확률과 통계에서 쓰는 V(X) = E(X²) − {E(X)}²와 같은 구조다

표준편차 구하는 법 — 예제로 단계별 계산

자료 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9의 표준편차를 구해 보자. 표준편차 구하는 법은 평균, 편차, 편차 제곱의 합, 분산, 제곱근의 다섯 단계다. 합이 40이고 자료가 8개이므로 평균은 5다. 편차는 -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4이고, 이를 제곱하면 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16이다.

$$V = \frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \frac{32}{8} = 4, \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

자료들은 평균 5에서 평균적으로 2만큼 떨어져 있다

변형 공식으로 검산해도 같다. 제곱의 합은 4+16+16+16+25+25+49+81 = 232이고, 이를 8로 나눈 29에서 평균의 제곱 25를 빼면 분산 4가 나온다. 자료가 많고 평균이 정수가 아닐 때는 이쪽이 훨씬 빠르다.

왜 제곱할까? n-1로 나누는 표본표준편차까지

편차의 부호를 없애는 방법으로 절댓값도 있는데 굳이 제곱하는 데는 이유가 있다. 편차 제곱의 합을 기준점 \(c\)의 함수로 보고 미분하면, 그 합을 가장 작게 만드는 \(c\)가 정확히 평균이다. 제곱을 쓰면 평균과 표준편차가 한 짝으로 맞물리고, 미분이 자유로워 정규분포 같은 이론 전체가 깔끔하게 연결된다.

$$f(c) = \sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2, \qquad f'(c) = -2\sum_{i=1}^{n}(x_i - c) = 0 \;\Rightarrow\; c = m$$

편차 제곱의 합은 평균에서 최소가 된다

이 성질 때문에 표본표준편차는 n이 아니라 n-1로 나눈다. 모집단 평균을 모르는 상태에서 표본평균 \(\bar{x}\)로 편차를 재면, 표본평균은 편차 제곱의 합을 가장 작게 만드는 값이므로 실제 흩어짐보다 늘 조금 작게 나온다. 이 치우침을 보정하는 것이 n-1이다. 편차의 합이 0이라는 제약 때문에 자유롭게 움직이는 편차가 n-1개뿐이라는 '자유도'로도 설명한다.

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}, \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$$

왼쪽은 표본표준편차, 오른쪽은 자료를 일차식으로 변환할 때의 표준편차

표준편차 핵심 정리

• 분산 = 편차 제곱의 평균 = 제곱의 평균 − 평균의 제곱
• 표준편차 = 분산의 양의 제곱근, 단위는 원래 자료와 같다
• 모든 자료에 같은 수를 더해도 표준편차는 그대로, a배 하면 |a|배
• 표본에서 모집단을 추정할 때는 n-1로 나눈 표본표준편차를 쓴다

엑셀에서 STDEV.P는 n으로, STDEV.S는 n-1로 나눈 값이다. 나는 처음 엑셀로 실험 데이터를 정리할 때 두 함수의 차이를 모르고 결과가 교재와 조금씩 달라 한참 헤맸다. 자료가 몇 개 안 될수록 차이가 커서, 8개짜리 위 예제도 표본표준편차로 계산하면 2가 아니라 약 2.14가 된다. 그 뒤로는 표준편차를 계산하기 전에 '이 자료가 전체인가, 일부인가'부터 묻는 습관이 생겼다.

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참고 자료

Wikipedia — Standard deviation Wolfram MathWorld — Standard Deviation 위키백과 — 표준 편차