벤포드 법칙이란? 뜻과 증명, 회계부정 적발 원리

🧮 생활 속 수학

벤포드 법칙은 실생활 숫자의 첫째 자리가 1로 시작할 확률이 30%에 달한다는 통계 법칙이다. 로그함수로 유도되는 원리, 왜 인구·주가·전기요금이 이 분포를 따르는지, 회계부정과 조작 데이터를 적발하는 데 어떻게 쓰이는지 정리했다.

벤포드 법칙(Benford's law)은 자연스럽게 생겨난 숫자 데이터에서 첫째 자리 숫자가 1일 확률이 약 30.1%, 9일 확률이 약 4.6%로 고르지 않게 분포한다는 경험 법칙이다. 직관적으로는 1부터 9까지 각각 11.1%씩 나와야 할 것 같지만, 인구·강 길이·주가·전기요금처럼 여러 자릿수에 걸쳐 퍼진 데이터는 거의 예외 없이 이 비율을 따른다. 그래서 회계 감사와 통계 검증에서 조작된 숫자를 걸러내는 도구로 쓰인다.

벤포드 법칙이란 무엇인가?

벤포드 법칙의 뜻은 간단하다. 어떤 숫자 집합에서 각 숫자의 맨 앞자리(0이 아닌 첫 유효숫자)만 떼어 세어 보면, 1이 가장 많고 2, 3, 4로 갈수록 점점 줄어들어 9가 가장 적다는 것이다. 첫째 자리가 $d$일 확률은 다음 식으로 주어진다.

$$P(d) = \log_{10}\left(1 + \frac{1}{d}\right), \quad d = 1, 2, \dots, 9$$

$d$는 첫째 자리 숫자, $\log_{10}$은 상용로그. $d=1$이면 $\log_{10} 2 \approx 0.301$

이 식에 1부터 9까지 넣으면 1은 30.1%, 2는 17.6%, 3은 12.5%, 4는 9.7%, 5는 7.9%, 6은 6.7%, 7은 5.8%, 8은 5.1%, 9는 4.6%가 나온다. 아홉 개를 더하면 정확히 100%다. 1로 시작하는 숫자가 9로 시작하는 숫자보다 6.5배나 많다는 뜻이다. 처음 이 비율을 보면 누구나 의심하게 되는데, 벤포드 법칙이 흥미로운 이유가 바로 그 반직관성에 있다.

벤포드 법칙은 이름과 달리 벤포드가 처음 발견한 것이 아니다. 1881년 천문학자 사이먼 뉴컴이 로그표 책의 앞쪽 페이지, 즉 1로 시작하는 수를 찾는 페이지가 유독 더러워져 있는 것을 보고 이 현상을 처음 기록했다. 이후 1938년 물리학자 프랭크 벤포드가 강의 면적, 인구, 물리 상수, 신문에 실린 숫자, 야구 통계 등 20개 분야 2만여 개의 자료를 모아 같은 분포가 반복된다는 것을 보이면서 벤포드 법칙이라는 이름이 붙었다. 우연이 아니라 데이터의 구조에서 나오는 법칙임을 실증한 것이다.

왜 1로 시작하는 숫자가 이렇게 많을까? 로그함수로 보는 원리

벤포드 법칙의 증명에서 핵심은 숫자가 덧셈이 아니라 곱셈으로 자란다는 점이다. 100만 원을 매년 10%씩 불린다고 해 보자. 100만에서 200만이 되려면 2배가 필요하니 약 7.3년이 걸린다. 그런데 200만에서 300만은 1.5배만 오르면 되므로 4.3년, 800만에서 900만은 1.125배면 되므로 1.2년이면 끝난다. 즉 잔액이 1로 시작하는 구간에 머무는 시간이 가장 길고, 9로 시작하는 구간은 순식간에 지나간다. 아무 때나 잔액을 찍어 보면 1로 시작할 확률이 가장 높은 이유다.

이것을 수학적으로 정리하면 로그 눈금 위의 균등분포가 된다. 어떤 수 $x$의 첫째 자리가 $d$라는 것은, $\log_{10} x$의 소수 부분이 $\log_{10} d$와 $\log_{10}(d+1)$ 사이에 있다는 뜻과 같다. 데이터가 로그 눈금 위에 고르게 퍼져 있다면 그 구간의 길이가 곧 확률이 되므로 $P(d) = \log_{10}(d+1) - \log_{10} d = \log_{10}(1 + 1/d)$가 나온다. 이것이 벤포드 법칙 공식의 유도 전부다.

한 가지 더 확인해 볼 성질이 있다. 벤포드 법칙이 자연법칙이라면 단위를 바꿔도 성립해야 한다. 강 길이를 km로 재든 마일로 재든, 가격을 원으로 적든 달러로 적든 첫째 자리 분포가 달라져서는 안 된다. 실제로 모든 수에 같은 상수를 곱하는 것은 로그 눈금 위에서 전체를 평행이동하는 것과 같으므로, 균등분포는 그대로 유지된다. 이 척도 불변성(scale invariance)을 만족하는 첫째 자리 분포는 로그 분포 하나뿐이라는 것이 1995년 시어도어 힐이 엄밀하게 증명한 내용이다.

벤포드 법칙이 통하는 데이터와 통하지 않는 데이터

벤포드 법칙이 성립하려면 데이터가 몇 가지 조건을 갖춰야 한다. 첫째, 값이 여러 자릿수에 걸쳐 넓게 퍼져 있어야 한다. 세계 각국의 인구는 수천 명부터 십수억 명까지 퍼져 있으므로 잘 맞고, 도시별 전기요금, 회사의 매출 원장, 주식 시가총액, 지진의 에너지, 강의 길이도 모두 벤포드 법칙을 따른다. 둘째, 값이 곱셈적 과정으로 생겨나야 한다. 성장률, 이자, 비율이 누적되어 만들어진 숫자가 여기에 해당한다.

반대로 통하지 않는 데이터도 분명하다. 성인의 키(150~190cm)처럼 좁은 범위에 몰린 값은 첫째 자리가 거의 1 아니면 2뿐이라 의미가 없다. 전화번호, 우편번호, 주민등록번호처럼 사람이 규칙으로 배정한 번호는 애초에 크기가 아니므로 벤포드 법칙과 무관하다. 복권 추첨 번호는 균등분포로 뽑히므로 역시 해당 없다. 2,900원, 9,900원처럼 심리적 가격이 몰린 소매가도 9가 과다하게 나온다. 데이터에 상한이나 하한이 인위적으로 걸려 있으면 벤포드 법칙에서 벗어난다는 점을 기억하면 된다.

회계부정 적발에 벤포드 법칙이 쓰이는 이유

벤포드 법칙의 가장 유명한 활용은 회계 감사다. 사람이 장부를 꾸며낼 때는 숫자가 고르게 보이도록 무의식적으로 5, 6, 7 같은 중간 숫자를 많이 쓰고, 1로 시작하는 금액은 오히려 적게 만든다. 반대로 진짜 거래 내역은 벤포드 분포를 따른다. 회계학자 마크 니그리니는 1990년대에 이 차이를 이용해 세금 신고와 기업 장부에서 조작 흔적을 찾는 방법을 체계화했고, 이후 벤포드 법칙은 미국 법정에서 증거로 인정받는 분석 기법이 되었다.

방법 자체는 어렵지 않다. 장부에 적힌 모든 금액의 첫째 자리를 세어 각 숫자의 비율을 구하고, 이를 벤포드 법칙의 기대 비율과 비교한다. 두 분포의 차이가 우연으로 보기 어려울 만큼 크면 그 장부를 정밀 감사 대상으로 올린다. 차이의 크기는 카이제곱 검정으로 판단하는데, 관측 빈도를 $O_d$, 기대 빈도를 $E_d$라 할 때 통계량은 다음과 같다.

$$\chi^2 = \sum_{d=1}^{9} \frac{(O_d - E_d)^2}{E_d}$$

$O_d$는 첫째 자리가 $d$인 실제 개수, $E_d = N \cdot \log_{10}(1+1/d)$는 벤포드 법칙이 예측한 개수

이 값이 자유도 8의 임계값(유의수준 5%에서 약 15.5)을 크게 넘으면 데이터가 벤포드 법칙에서 유의하게 벗어났다고 본다. 다만 벗어났다는 것이 곧 부정을 뜻하지는 않는다. 특정 거래처에 반복 결제하는 고정 금액이 많거나, 결재 한도 바로 아래에 금액이 몰려 있는 것처럼 정상적인 이유로도 분포는 흔들린다. 벤포드 법칙은 어디를 들여다볼지 알려주는 탐지기이지 유죄 판정기가 아니다. 실제로 그리스가 유로존 가입 시 제출한 재정 통계, 엔론의 회계 자료, 일부 국가의 선거 득표 수 분석에도 이 방법이 적용됐지만 결론은 언제나 추가 조사와 함께 내려졌다.

직접 확인해 보는 벤포드 법칙 실험

저는 벤포드 법칙을 처음 읽었을 때 반신반의해서 직접 세어 봤다. 통계청 사이트에서 전국 시군구별 인구 자료 250여 건을 내려받아 첫째 자리만 뽑아 보니 1이 74건으로 29.6%, 2가 45건으로 18%였고 9는 겨우 10건이었다. 공식이 예측한 30.1%와 17.6%, 4.6%에 놀랄 만큼 가까웠다. 이어서 제 1년치 카드 결제 내역으로도 해 봤는데, 결과가 눈에 띄게 어긋났다. 편의점과 커피값처럼 4천~6천 원대 소액 결제가 몰려 있어서 4와 5가 과다했던 것이다. 이 실패가 오히려 배운 게 많았다. 데이터가 여러 자릿수에 걸쳐 있어야 한다는 조건이 무슨 뜻인지 몸으로 이해했기 때문이다.

집에서 해 볼 수 있는 실험은 많다. 엑셀에서 LEFT 함수로 첫 글자를 뽑고 COUNTIF로 세면 5분이면 끝난다. 세계 각국 인구, 코스피 상장사 시가총액, 아파트 단지별 세대수, 유튜브 영상 조회수 같은 자료를 넣어 보면 벤포드 법칙의 곡선이 반복해서 나타난다. 반대로 주민등록번호 앞자리나 로또 번호를 넣으면 평평한 분포가 나오는 것도 확인할 수 있다. 어떤 데이터가 통하고 어떤 데이터가 통하지 않는지 직접 겪어 보는 것이 이 법칙을 이해하는 가장 빠른 길이다.

벤포드 법칙 핵심 정리

벤포드 법칙은 여러 자릿수에 걸쳐 곱셈적으로 자라난 숫자의 첫째 자리가 $\log_{10}(1+1/d)$의 확률로 분포한다는 법칙이며, 1이 30.1%로 가장 많고 9가 4.6%로 가장 적다. 원리는 로그 눈금 위의 균등분포와 척도 불변성에서 나오고, 그래서 단위를 바꿔도 성립한다. 인구·매출·주가·자연 측정값에는 잘 맞지만 좁은 범위의 값, 배정된 번호, 심리적 가격에는 맞지 않는다. 회계부정 적발에서는 장부의 첫째 자리 분포를 기대 분포와 카이제곱 검정으로 비교해 정밀 감사 대상을 고르는 데 쓰이며, 어긋남은 조사의 출발점이지 결론이 아니다. 숫자가 어떻게 만들어졌는지를 아는 것이 숫자를 읽는 첫걸음이라는 점에서, 벤포드 법칙은 통계 리터러시의 좋은 교과서다.

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참고 자료

Wikipedia — Benford's law Frank Benford (1938), The Law of Anomalous Numbers, Proceedings of the American Philosophical Society Theodore P. Hill (1995), A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law, Statistical Science