극한 계산법, 극한의 성질과 0/0 부정형 처리 방법 정리

📐 개념 정리

극한 계산은 극한의 성질로 쪼개고 부정형이 나오면 인수분해, 유리화, 최고차항 나누기로 풀어낸다. 극한 계산법과 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 예제를 정리했다.

극한 계산은 \(x\)가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 함수값이 가까워지는 값을 구하는 일이다. 대부분은 극한의 성질로 쪼개 대입하면 끝나지만, 대입했더니 0/0이나 ∞/∞가 나오는 부정형이 문제다. 극한 계산의 기본 성질, 부정형 유형별 처리법, 대표 예제를 순서대로 정리한다.

극한값이란 무엇이고 언제 존재하나요?

함수 \(f(x)\)에서 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 값 \(L\)에 한없이 가까워지면 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\)이라 쓰고, \(L\)을 극한값이라 한다. 여기서 중요한 점은 \(x = a\)에서의 함숫값이 아니라 \(a\) 근처에서의 행동을 본다는 것이다. 그래서 \(x = a\)에서 함수가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다.

극한값이 존재하려면 왼쪽에서 다가갈 때의 좌극한과 오른쪽에서 다가갈 때의 우극한이 같아야 한다. 극한 계산에서 절댓값이나 가우스 기호, 구간별로 정의된 함수가 나오면 반드시 좌극한과 우극한을 따로 구해 비교한다. 두 값이 다르면 극한은 존재하지 않는다.

극한 계산의 기본 성질은 무엇인가요?

두 극한 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\), \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M\)이 모두 존재하면 합, 차, 상수배, 곱을 극한 계산에서 각각 따로 구해 합칠 수 있다. 몫은 분모의 극한 \(M\)이 0이 아닐 때만 \(\frac{L}{M}\)으로 나눌 수 있다. 정리하면 다음과 같다.

극한의 성질 요약

• 합·차: 극한의 합(차)은 각 극한의 합(차)과 같다
• 상수배: 상수 c에 대해 c·f(x)의 극한은 c·L
• 곱: f(x)·g(x)의 극한은 L·M
• 몫: 분모의 극한 M이 0이 아니면 f(x)/g(x)의 극한은 L/M

극한 계산에서 가장 먼저 할 일은 극한점을 그냥 대입해 보는 것이다. 다항함수나 분모가 0이 되지 않는 유리함수는 대입만으로 극한값이 나온다. 대입했을 때 분모가 0이 되면서 분자도 0인 경우가 0/0 부정형이며, 이때부터 식을 바꾸는 기술이 필요하다.

0/0 부정형은 어떻게 처리하나요?

0/0 부정형은 분자와 분모에 공통으로 들어 있는 0이 되는 인수를 찾아 약분하면 풀린다. 가장 기본적인 예는 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\)다. 분자를 \((x-2)(x+2)\)로 인수분해하고 \(x \neq 2\)이므로 \(x-2\)를 약분하면 \(x+2\)가 남고, 대입하면 극한값은 4다.

근호가 들어 있으면 유리화를 쓴다. \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)에서 분자와 분모에 \(\sqrt{x+4}+2\)를 곱하면 분자가 \((x+4)-4 = x\)가 되어 \(x\)가 약분되고, \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4}\)을 얻는다. 극한 계산에서 인수분해는 다항식, 유리화는 무리식이 나올 때 쓰는 짝이라고 기억해 두면 편하다.

∞/∞와 ∞-∞ 부정형은 어떻게 푸나요?

\(x \to \infty\)일 때 분자와 분모가 모두 한없이 커지는 ∞/∞ 꼴은 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누는 것이 정석이다. 예를 들어 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+x}{2x^2-5}\)는 분자와 분모를 \(x^2\)으로 나누면 \(\frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{5}{x^2}}\)가 되고, \(\frac{1}{x}\)과 \(\frac{5}{x^2}\)이 0으로 가므로 극한값은 \(\frac{3}{2}\)이다. 분자와 분모의 차수가 같으면 최고차항 계수의 비, 분모의 차수가 더 크면 0, 분자의 차수가 더 크면 발산한다.

∞-∞ 꼴은 그대로 두면 판단할 수 없으므로 분수 꼴로 바꾼다. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\)는 켤레식 \(\sqrt{x^2+x}+x\)를 곱하고 나누어 \(\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\)로 만든 다음 분자와 분모를 \(x\)로 나눈다. 그러면 \(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\)이 되어 극한값은 \(\frac{1}{2}\)이다. 이 예제처럼 극한 계산 결과가 직관과 달리 0이 아닌 값으로 수렴하는 경우가 많다.

삼각함수 극한 계산에는 어떤 공식을 쓰나요?

삼각함수가 섞인 극한 계산에는 기본 공식 하나가 핵심이다. 아래 극한은 호도법에서 \(\sin x\)와 \(x\)가 0 근처에서 거의 같다는 사실을 나타내며, 기하학적으로 부채꼴과 삼각형의 넓이를 비교하는 협공 정리로 증명한다.

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$$

삼각함수 극한의 기본 공식

이 공식을 변형하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x}\)는 \(\frac{\sin 3x}{3x} \times 3\)으로 바꿔 3이 된다. 또 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)은 분자와 분모에 \(1+\cos x\)를 곱해 \(\frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}\)로 만들면 \(1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)을 얻는다. 극한 계산에서 삼각함수가 나오면 일단 \(\frac{\sin(\text{무엇})}{\text{같은 무엇}}\) 꼴을 만들 수 있는지부터 살핀다.

극한 계산에서 자주 하는 실수와 정리

극한 계산에서 가장 흔한 실수는 부정형을 만났을 때 0/0을 0이나 1로 단정하는 것이다. 0/0은 값이 정해지지 않았다는 뜻이며, 앞에서 본 것처럼 4, \(\frac{1}{4}\) 등 문제마다 다른 값으로 수렴한다. 약분할 때 \(x \neq a\)라는 조건을 빼먹는 것도 흔하다. 극한은 \(x\)가 \(a\)에 가까워지되 같지는 않다는 전제에서 정의되기 때문에 약분이 정당하다.

극한 계산을 정리하면 먼저 대입해 보고, 부정형이면 인수분해, 유리화, 최고차항 나누기, 삼각함수 공식 중 맞는 도구를 고르는 순서다. 문제를 풀다 보면 계산이 막힐 때마다 어떤 부정형인지부터 이름을 붙이는 습관이 가장 큰 도움이 되었다. 형태를 알아보는 눈이 생기면 극한 계산은 외우는 과목이 아니라 정해진 도구를 고르는 과목이 된다.

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참고 자료

Wikipedia — Limit of a functionKhan Academy — LimitsPaul Dawkins — Paul Online Notes: Limits