엘로 레이팅이란? 뜻과 계산 공식, 승률 예측 원리

🧮 생활 속 수학

엘로 레이팅은 두 사람의 점수 차이로 승리 확률을 예측하고 실제 결과와의 차이만큼 점수를 고치는 평가 방식이다. 엘로 레이팅 뜻과 계산 공식, K값, 게임 MMR·AI 순위표 활용까지 정리했다.

엘로 레이팅은 "점수가 높은 사람이 이길 확률이 얼마인가"를 숫자 하나로 계산하는 평가 방식이다. 경기 전에 점수 차이로 기대 승률을 구하고, 경기 후에는 실제 결과가 기대보다 좋았으면 점수를 올리고 나빴으면 내린다. 체스에서 시작해 온라인 게임의 MMR, 축구 국가대표 순위, AI 챗봇 순위표까지 같은 원리를 쓴다.

엘로 레이팅 뜻 — 누가, 왜 만들었나?

이름은 헝가리 출신 미국 물리학자이자 체스 선수였던 아르파드 엘로에서 왔다. 미국체스연맹이 1960년 이 방식을 채택했고, 국제체스연맹(FIDE)이 1970년부터 공식 레이팅으로 썼다. 그 전의 체스 순위는 승패를 단순 집계하거나 상대의 수준을 대충 감안하는 식이라 공정성 논란이 많았다.

엘로의 발상은 단순하다. 한 사람의 실력은 경기마다 조금씩 흔들리는 확률변수이고, 두 사람의 평균 실력 차이가 승리 확률을 결정한다. 그래서 엘로 레이팅에서 의미가 있는 것은 점수 그 자체가 아니라 두 점수의 차이다. 1500과 1600의 차이나 2500과 2600의 차이나 똑같이 100점이고, 예측되는 승률도 같다.

엘로 레이팅 계산 공식 — 기대 승률 구하기

A의 점수를 \(R_A\), B의 점수를 \(R_B\)라고 하면, A의 기대 점수(이기면 1, 비기면 0.5, 지면 0으로 쳤을 때의 기댓값)는 다음과 같다.

$$E_A = \frac{1}{1 + 10^{(R_B - R_A)/400}}$$

점수 차이가 400점 벌어질 때마다 승패 비율이 10배씩 달라지도록 설계한 로지스틱 함수

분모의 400은 눈금을 정하는 상수다. 같은 식을 승패 비율로 바꾸면 \(E_A / E_B = 10^{(R_A - R_B)/400}\)이 되므로, 400점 앞선 사람은 이길 확률과 질 확률의 비가 10대 1, 즉 기대 승률이 약 90.9%다. 또 \(E_A + E_B = 1\)이 항상 성립한다.

점수 차이별 기대 승률 (높은 쪽 기준)

• 0점 차이: 50.0%
• 100점 차이: 64.0%
• 200점 차이: 76.0%
• 400점 차이: 90.9%
• 800점 차이: 99.0%

경기 후 점수는 어떻게 바뀔까? — K값과 계산 예시

경기가 끝나면 실제 결과 \(S_A\)와 기대 점수 \(E_A\)의 차이에 K라는 계수를 곱해 점수에 더한다.

$$R_A' = R_A + K\,(S_A - E_A)$$

예상보다 잘하면 오르고, 예상보다 못하면 내려가는 '오차 보정' 구조

숫자로 해 보자. 1600점인 A가 1800점인 B와 붙고 K는 20이다. A의 기대 점수는 \(1/(1+10^{0.5}) \approx 0.240\)이다. A가 이기면 \(20 \times (1 - 0.240) \approx 15.2\)점을 얻어 약 1615점이 되고, B는 같은 만큼 잃는다. 반대로 A가 지면 \(20 \times (0 - 0.240) \approx -4.8\)점만 잃는다. 비기면 A가 약 5.2점을 얻는다. 약자가 이기면 크게 오르고, 강자가 이기면 조금만 오른다는 직관이 식에 그대로 들어 있다.

두 사람의 K가 같으면 한쪽이 얻은 점수만큼 다른 쪽이 잃는다. 엘로 레이팅이 제로섬 구조라는 뜻이다. K값은 점수가 얼마나 빨리 움직일지를 정하는 민감도다. FIDE는 처음 등록한 선수나 2300점 미만의 18세 이하 선수에게 40, 2400점 미만 선수에게 20, 한 번이라도 2400점에 오른 선수에게 10을 쓴다. 정보가 적은 신인은 빠르게 제자리를 찾게 하고, 검증된 상위 선수는 한두 판에 크게 흔들리지 않게 한 것이다.

엘로 레이팅 수준과 활용 — 체스부터 게임 MMR, AI 순위까지

체스에서 그랜드마스터 칭호를 받으려면 레이팅 2500을 넘긴 기록이 필요하고, 매그너스 칼센이 2014년 5월 기록한 2882점은 FIDE 레이팅 역대 최고치로 꼽힌다. 다만 엘로 레이팅 수준은 같은 풀 안에서만 비교할 수 있다. 서로 다른 사이트나 리그의 1500점은 출발점과 참가자가 달라 같은 실력을 뜻하지 않는다.

온라인 게임의 MMR(매치메이킹 레이팅)은 엘로 레이팅에서 출발한 변형 방식으로, 비슷한 점수끼리 묶어 경기를 잡는 데 쓴다. 축구에서는 FIFA가 2018년부터 남자 국가대표 순위를 엘로 방식에 기반한 계산법으로 바꿨다. AI 분야에서도 사람들이 두 챗봇의 답을 비교해 투표하는 순위표가 처음에 엘로 레이팅으로 점수를 매겼고, 지금은 같은 아이디어를 통계적으로 다듬은 브래들리-테리 모형을 쓴다.

한계도 분명하다. 새로 들어온 사람의 점수가 얼마나 믿을 만한지를 표현하지 못해, 점수와 함께 불확실성까지 관리하는 글리코 방식 같은 개선안이 나왔다. 팀 게임에서는 개인 기여를 분리하기 어렵고, 참가자가 계속 들고 나면 전체 점수가 서서히 부풀거나 줄어드는 현상도 생긴다.

나는 동호회 탁구 리그 기록을 엑셀에 정리하면서 엘로 레이팅을 직접 적용해 본 적이 있다. 처음엔 모두 1500점에서 출발하고 K를 32로 두었는데, 열 경기쯤 지나자 실제 체감 순서와 거의 같은 줄 세우기가 나왔다. 재미있었던 건 하위권이 상위권을 한 번 잡았을 때 오르는 점수가 커서 다들 그 경기를 더 진지하게 치렀다는 점이다. 공식 하나가 사람들의 동기까지 바꾼 셈이다.

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참고 자료

Elo rating system — Wikipedia FIDE Handbook — Rating Regulations (K-factor) FIFA — Men's World Ranking procedure Mark Glickman — The Glicko system