오일러 공식 증명과 유도 — 복소수·삼각함수로 이해하기

📐 개념 정리

오일러 공식은 지수함수와 삼각함수를 복소수로 잇는 식이다. 복소수 극형식 준비부터 테일러 급수 증명과 미분을 이용한 유도, 삼각함수 덧셈정리와 드무아브르 정리·오일러 항등식으로 이어지는 활용, 고등학교 교육과정과의 관계까지 단계별로 정리했다.

오일러 공식은 자연상수 e의 허수 지수가 코사인과 사인의 조합과 같다는 식이다. 지수함수는 성장을, 삼각함수는 회전을 다루는 전혀 다른 함수처럼 보이지만, 허수단위 i를 지수에 올리는 순간 둘이 같은 것이라는 사실이 드러난다. 여기에 각도로 원주율을 넣으면 e, i, 원주율, 1, 0이라는 수학의 다섯 상수가 한 줄에 모이는 오일러 항등식이 나온다. 이 글은 오일러 공식을 외우는 대신, 복소수 극형식에서 출발해 두 가지 방법으로 유도하고 무엇에 쓰는지까지 순서대로 따라간다.

오일러 공식이란? 뜻과 아름답다고 하는 이유

오일러 공식 뜻을 말로 풀면 이렇다. 어떤 실수 각도에 허수단위를 곱해 자연상수의 지수로 올리면, 그 값은 복소평면 위 반지름 1인 원 위의 점이 되고, 그 점의 가로 좌표가 코사인, 세로 좌표가 사인이다. 즉 허수 지수는 크기를 키우거나 줄이는 대신 방향을 돌린다. 레온하르트 오일러가 1748년 저서 무한해석 입문에서 이 관계를 체계적으로 정리했고, 물리학자 리처드 파인만은 강의록에서 이 식을 수학에서 가장 놀라운 공식이라고 불렀다.

아름답다는 평가는 서로 다른 세 분야를 하나로 묶기 때문에 나온다. 지수함수는 복리와 성장에서, 삼각함수는 원과 파동에서, 복소수는 이차방정식의 근에서 각각 따로 태어났는데 오일러 공식 하나가 이 셋을 같은 대상의 다른 표현으로 만든다. 한 가지 주의할 점은 이름이 같은 다른 공식이 있다는 것이다. 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이의 관계를 나타내는 오일러 다면체 공식은 이 글의 주제와 다른 식이다. 이 글에서 오일러 공식은 지수함수와 삼각함수를 잇는 식만을 가리킨다.

준비 — 복소수와 극형식

오일러 공식 증명에 앞서 필요한 것은 복소수의 극형식이다. 허수단위 $i$는 제곱하면 $-1$이 되는 수이고, 복소수 $z = a + bi$는 복소평면에서 가로 $a$, 세로 $b$인 점으로 그린다. 원점에서 그 점까지의 거리를 $r$, 가로축과 이루는 각을 $\theta$라 하면 같은 복소수를 각도와 거리로 다시 쓸 수 있다.

$$z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

$r$은 복소수의 절댓값, $\theta$는 편각이다. 괄호 안의 $\cos\theta + i\sin\theta$는 반지름 1인 단위원 위의 점이며, 오일러 공식은 바로 이 괄호를 지수함수 하나로 바꾸는 식이다.

따라서 목표는 분명하다. $e^{i\theta}$가 $\cos\theta + i\sin\theta$와 같음을 보이면 된다. 다만 실수에서 정의된 지수함수에 허수를 넣는 것이 무슨 뜻인지부터 정해야 한다. 표준적인 방법은 지수함수를 무한급수로 정의하고 그 정의를 복소수까지 그대로 확장하는 것이다. 이 정의를 받아들이면 오일러 공식 유도는 급수를 정리하는 계산 문제가 된다.

오일러 공식 증명 1 — 테일러 급수로 유도하기

지수함수, 코사인, 사인은 모두 무한급수로 쓸 수 있다. 세 급수를 나란히 놓으면 오일러 공식이 왜 성립하는지 눈에 보인다.

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots, \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$n!$은 1부터 $n$까지의 곱이다. 코사인은 짝수 차수만, 사인은 홀수 차수만 갖고 부호가 번갈아 바뀐다는 점이 핵심이다.

이제 지수함수의 급수에 $x = i\theta$를 넣는다. $i$의 거듭제곱은 $i, -1, -i, 1$이 네 개씩 반복되므로 짝수 차수 항은 실수, 홀수 차수 항은 허수가 되고 부호가 번갈아 나타난다.

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$을 차례로 적용한 결과다. 실수 항과 허수 항이 번갈아 나오며 부호는 두 항마다 바뀐다.

$$e^{i\theta} = \Bigl(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\Bigr) + i\Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\Bigr) = \cos\theta + i\sin\theta$$

실수 항만 모으면 코사인의 급수, 허수 항만 모으면 사인의 급수가 된다. 급수가 절대수렴하므로 항의 순서를 바꿔 묶어도 값이 변하지 않는다. 이것이 오일러 공식이다.

오일러 공식 증명 2 — 미분으로 유도하기

급수 없이도 오일러 공식 유도가 가능하다. 지수함수의 미분이 자기 자신이라는 성질과 삼각함수의 미분만 쓰는 방법이다. 두 식의 비를 함수로 잡고 그 미분이 0임을 보이면, 그 함수는 상수이고 처음 값이 1이므로 항상 1이다.

$$f(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad f'(\theta) = e^{-i\theta}\bigl(-i\cos\theta + \sin\theta - \sin\theta + i\cos\theta\bigr) = 0$$

곱의 미분법을 쓰면 괄호 안이 정확히 0으로 상쇄된다. $f'(\theta) = 0$이므로 $f$는 상수이고 $f(0) = 1$이므로 모든 $\theta$에서 $f(\theta) = 1$, 곧 $\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$다.

이 증명은 $e^{i\theta}$를 미분하면 $ie^{i\theta}$가 된다는 사실, 즉 허수 지수함수도 실수 지수함수와 같은 미분 규칙을 따른다는 점을 전제한다. 급수 정의를 받아들이면 이 성질은 항별 미분으로 바로 확인된다. 기하적으로 읽으면 더 선명하다. $e^{i\theta}$의 변화율이 자기 자신에 $i$를 곱한 것이라는 말은, 점이 움직이는 방향이 항상 위치 벡터를 90도 돌린 방향이라는 뜻이고, 그런 운동은 원운동뿐이다.

오일러 공식 활용 — 덧셈정리, 드무아브르 정리, 오일러 항등식

오일러 공식의 첫 번째 활용은 삼각함수 공식을 외우지 않아도 되게 만드는 것이다. 지수법칙 $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$의 양변을 오일러 공식으로 풀어 실수부와 허수부를 비교하면 덧셈정리가 한 줄에 나온다.

$$\cos(a+b) + i\sin(a+b) = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) = (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i(\sin a\cos b + \cos a\sin b)$$

실수부끼리 비교하면 코사인 덧셈정리, 허수부끼리 비교하면 사인 덧셈정리다. 부호를 헷갈릴 때 이 계산 한 번이면 복원된다.

같은 지수법칙을 $n$번 반복하면 드무아브르 정리가 되고, 각도에 원주율을 넣으면 오일러 항등식이 된다. 또 오일러 공식과 각도를 음수로 바꾼 식을 더하거나 빼면 코사인과 사인을 지수함수로 표현할 수 있어, 삼각함수의 적분이나 곱을 지수함수 계산으로 바꿀 수 있다.

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta, \qquad e^{i\pi} + 1 = 0, \qquad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$

첫 식이 드무아브르 정리, 둘째가 오일러 항등식이다. 셋째처럼 사인도 $\sin\theta = (e^{i\theta} - e^{-i\theta})/(2i)$로 쓸 수 있다.

공학에서 오일러 공식은 도구 그 자체다. 교류 회로의 전압과 전류를 복소수 하나로 다루는 페이저 표현, 소리와 영상을 주파수 성분으로 나누는 푸리에 변환, 양자역학의 파동함수가 모두 삼각함수 대신 $e^{i\theta}$ 꼴을 쓴다. 곱하고 미분하기가 삼각함수보다 훨씬 쉽기 때문이다. 오일러 공식 활용은 결국 회전을 곱셈으로 바꾸는 기술이라고 요약할 수 있다. 예를 들어 어떤 복소수에 $e^{i\theta}$를 곱하는 것은 그 복소수를 원점 둘레로 $\theta$만큼 돌리는 것과 같아서, 컴퓨터 그래픽에서 도형을 회전시키는 계산도 이 성질을 그대로 쓴다.

고등학교 교육과정과 오일러 공식

오일러 공식 고등학교 범위 여부를 묻는 검색이 많은데, 정식 교육과정에는 들어 있지 않다. 고등학교에서는 복소수의 사칙연산, 삼각함수의 덧셈정리, 지수함수의 미분을 각각 따로 배우고, 세 조각을 잇는 오일러 공식은 대학 미적분학이나 공학수학에서 만난다. 다만 재료는 모두 고등학교에서 갖춰지므로, 테일러 급수만 받아들이면 위의 첫 번째 증명은 고등학생도 끝까지 따라갈 수 있다. 복소수 극형식과 드무아브르 정리는 과거 교육과정에 있었던 만큼 심화 문제집이나 경시대회에서 여전히 다뤄진다. 오일러 공식을 미리 알아두면 삼각함수 단원의 많은 공식이 왜 그런 모양인지 한눈에 보이므로, 암기량을 줄이는 데도 도움이 된다.

대학 1학년 때 오일러 공식을 처음 배우고 나서, 외우고 있던 삼각함수 덧셈정리와 배각 공식을 전부 지수법칙 하나로 다시 만들어 본 적이 있다. 종이 한 장에 열 개 넘는 공식이 $e^{ia}e^{ib}$ 계산 몇 줄로 정리되는 것을 보고, 그동안 암기했던 것들이 사실은 하나의 사실을 다른 각도에서 본 것이었다는 걸 깨달았다. 수학에서 아름답다는 말이 무슨 뜻인지 처음 실감한 순간이었고, 지금도 삼각함수 공식이 헷갈리면 오일러 공식으로 돌아가 다시 꺼낸다.

함께 읽으면 좋은 글

삼각함수 공식 총정리 — 덧셈정리부터 합성까지 삼각함수 덧셈정리 증명과 유도 원리 완벽 정리 단리 복리 차이란? 공식과 계산법, 예금 적금 적용까지

참고 자료

위키백과 — 오일러 공식 Wikipedia — Euler's formula (증명 방법 정리) The Feynman Lectures on Physics — Chapter 22. Algebra