치환적분 공식과 예시 — 정적분 구간 변환까지

📐 개념 정리

치환적분은 합성함수 미분법을 거꾸로 적용해 복잡한 적분을 단순한 적분으로 바꾸는 방법이다. 치환적분 공식의 유도, 부정적분·정적분 예시, 구간 변환과 삼각치환, 부분적분과 고르는 기준까지 정리했다.

치환적분은 적분하기 어려운 식의 일부를 새 변수 t로 바꿔 쉬운 적분으로 만드는 방법이다. 원리는 합성함수 미분법을 뒤집은 것이고, 기억할 규칙은 세 가지다. 무엇을 t로 둘지, dx를 dt로 어떻게 바꿀지, 정적분이면 구간을 어떻게 옮길지. 공식이 어디서 나오는지 유도한 뒤 대표 예시를 끝까지 계산하고, 부분적분과 헷갈리지 않는 기준까지 정리한다.

치환적분이란? 뜻과 언제 쓰는지

치환적분 뜻은 이름 그대로 '바꿔서 적분한다'는 것이다. 적분할 식 안에 어떤 함수와 그 함수의 도함수가 함께 들어 있으면, 그 함수를 새 변수 하나로 묶어 식을 단순하게 만들 수 있다. 고등학교 미적분 교육과정에서는 여러 가지 적분법 단원에서 부분적분과 함께 배우고, 수능에서는 정적분 계산과 넓이 문제의 첫 단계로 거의 매년 등장한다.

치환적분을 떠올려야 하는 신호는 분명하다. 괄호 안의 식을 미분한 모양이 괄호 밖에 곱해져 있을 때, 분수에서 분자가 분모의 도함수와 비슷할 때, 지수나 삼각함수의 안쪽이 복잡할 때다. 이런 모양을 보면 먼저 안쪽 식을 t로 두는 것이 치환적분 풀이의 기본 순서다.

치환적분 공식 유도 — 합성함수 미분법 거꾸로

함수 $F$가 $f$의 부정적분, 즉 $F'=f$라고 하자. 여기에 $x=g(t)$를 대입한 합성함수 $F(g(t))$를 $t$로 미분하면 합성함수 미분법에 의해 다음이 성립한다.

$$\frac{d}{dt}F(g(t)) = F'(g(t))\,g'(t) = f(g(t))\,g'(t)$$

합성함수 미분법 — 바깥 함수의 도함수에 안쪽 함수의 도함수를 곱한다

양변을 $t$에 대해 적분하면 왼쪽은 다시 $F(g(t))$가 되고, 이것은 원래 $\int f(x)\,dx$에서 $x$를 $g(t)$로 바꾼 것과 같다. 이렇게 치환적분 공식이 나온다.

$$\int f(x)\,dx = \int f(g(t))\,g'(t)\,dt \qquad (x=g(t))$$

치환적분 공식 — x를 g(t)로 바꾸고 dx 대신 g′(t)dt를 쓴다

실전에서는 반대 방향으로 더 자주 쓴다. 적분할 식이 $f(g(x))\,g'(x)$ 꼴이면 $t=g(x)$로 두고 $dt=g'(x)\,dx$로 바꿔 $\int f(t)\,dt$를 계산한다. 이때 $dx$를 그대로 남겨 두면 안 된다. $dt=g'(x)\,dx$라는 관계로 반드시 $dx$를 없애는 것이 치환적분에서 가장 많이 틀리는 지점이다.

치환적분 예시 — 부정적분 세 가지

첫 번째 치환적분 예시는 괄호 밖에 안쪽 식의 도함수가 있는 경우다. $t=x^2+1$로 두면 $dt=2x\,dx$이므로 식 전체가 $t$만으로 바뀐다.

$$\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \int t^3\,dt = \frac{t^4}{4}+C = \frac{(x^2+1)^4}{4}+C$$

안쪽 x²+1을 t로 치환 — 마지막에 t를 x의 식으로 되돌린다

두 번째는 지수함수다. $\int x e^{x^2}\,dx$에서 $t=x^2$으로 두면 $dt=2x\,dx$, 즉 $x\,dx=rac{1}{2}dt$다. 상수배가 모자랄 때는 이렇게 계수를 맞춰 준다.

$$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{t}\,dt = \frac{1}{2}e^{x^2}+C$$

계수 1/2을 앞으로 빼서 dt를 정확히 맞춘다

세 번째는 분자가 분모의 도함수인 꼴이다. $ an x=rac{\sin x}{\cos x}$에서 $t=\cos x$로 두면 $dt=-\sin x\,dx$이다.

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{1}{t}\,dt = -\ln|\cos x| + C$$

f′(x)/f(x) 꼴의 적분은 ln|f(x)|로 끝난다

세 예시 모두 구조가 같다. 안쪽 식을 $t$로 두고, 그 미분이 식 안에 이미 들어 있는지 확인하고, 없으면 상수배로 맞춘다. 이 세 단계를 몸에 익히면 대부분의 치환적분 문제는 한두 줄로 끝난다.

정적분의 치환적분 — 구간도 함께 바꾼다

정적분에서 치환적분을 쓸 때는 적분 구간도 새 변수의 값으로 옮겨야 한다. $x$가 $a$에서 $b$까지 움직일 때 $t=g(x)$는 $g(a)$에서 $g(b)$까지 움직이기 때문이다.

$$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt$$

정적분의 치환적분 — 구간을 바꾸면 x로 되돌릴 필요가 없다

예를 들어 $\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx$에서 $t=\sin x$로 두면 $dt=\cos x\,dx$이고, $x=0$일 때 $t=0$, $x=\pi/2$일 때 $t=1$이다. 따라서 값은 $\int_0^1 t\,dt=rac{1}{2}$이다. 구간을 바꾸지 않고 원래의 0과 $\pi/2$를 그대로 넣으면 엉뚱한 값이 나온다.

근호가 들어간 식에서는 삼각치환을 쓴다. $\sqrt{1-x^2}$이 보이면 $x=\sin heta$로 두어 $\sqrt{1-\sin^2 heta}=\cos heta$로 근호를 없앤다. 이렇게 계산한 $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$는 반지름 1인 원의 사분의 일 넓이, 즉 $rac{\pi}{4}$가 된다. 기하학적 넓이와 치환적분 결과가 정확히 맞아떨어지는 좋은 확인 예제다.

치환적분과 부분적분, 무엇을 먼저 쓸까

치환적분과 부분적분은 둘 다 미분법을 뒤집은 적분법이지만 출발점이 다르다. 치환적분은 합성함수 미분법에서, 부분적분은 곱의 미분법에서 나온다. 그래서 식이 '함수 안의 함수'이고 안쪽의 도함수가 곁에 붙어 있으면 치환적분, $x e^x$나 $x\ln x$처럼 성격이 다른 두 함수의 곱이고 한쪽을 미분하면 단순해지면 부분적분을 고른다.

실제 문제에서는 둘을 이어서 쓰는 경우도 많다. $\int x^3 e^{x^2}\,dx$는 먼저 $t=x^2$으로 치환한 뒤 부분적분을 한 번 더 해야 풀린다. 어떤 방법이 맞는지 모르겠다면 안쪽 식을 $t$로 두어 보고 식이 단순해지는지부터 확인하는 것이 빠르다.

개인적으로 치환적분을 처음 배울 때 가장 오래 걸린 것은 '$dx$도 바꿔야 한다'는 감각이었다. 공식을 외우기보다 $dt=g'(x)dx$를 한 줄 따로 써 두는 습관을 들이자 실수가 거의 사라졌다. 정적분이라면 그 옆에 구간 변환표를 하나 더 적는다. 이 두 줄이 치환적분 풀이의 절반이다.

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참고 자료

Wikipedia — Integration by substitutionPaul's Online Math Notes — Substitution Rule for Indefinite IntegralsKhan Academy — u-substitution국가교육과정정보센터 — 고등학교 수학과 교육과정(미적분)